Una panoramica sulla conversione delle frazioni. Trasformazione competente di espressioni razionali Conversione di espressioni razionali frazionarie

Le espressioni razionali e le frazioni sono la pietra angolare dell'intero corso di algebra. Coloro che imparano a lavorare con tali espressioni, a semplificarle e a fattorizzarle, saranno essenzialmente in grado di risolvere qualsiasi problema, poiché la trasformazione delle espressioni è parte integrante di qualsiasi equazione seria, disuguaglianza o persino problema di parole.

In questo video tutorial vedremo come utilizzare correttamente le formule di moltiplicazione abbreviate per semplificare le espressioni razionali e le frazioni. Impariamo a vedere queste formule dove, a prima vista, non c'è nulla. Allo stesso tempo, ripeteremo una tecnica così semplice come fattorizzare un trinomio quadratico attraverso un discriminante.

Come probabilmente hai già intuito dalle formule dietro di me, oggi studieremo le formule di moltiplicazione abbreviate, o, più precisamente, non le formule stesse, ma il loro utilizzo per semplificare e ridurre espressioni razionali complesse. Ma, prima di passare alla risoluzione degli esempi, diamo un'occhiata più da vicino a queste formule o ricordiamole:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — differenza di quadrati;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ è il quadrato della somma;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — differenza al quadrato;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\sinistra(a+b \destra)\sinistra(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ è la somma dei cubi;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\sinistra(a-b \destra)\sinistra(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ è la differenza dei cubi.

Vorrei anche sottolineare che il nostro sistema educativo scolastico è strutturato in modo tale che sia con lo studio di questo argomento, ad es. espressioni razionali, così come radici, moduli, tutti gli studenti hanno lo stesso problema, che ora spiegherò.

Il fatto è che all'inizio dello studio delle formule di moltiplicazione abbreviate e, di conseguenza, delle azioni per ridurre le frazioni (questo è da qualche parte nell'ottavo anno), gli insegnanti dicono qualcosa del genere: “Se qualcosa non ti è chiaro, allora non farlo' Non preoccuparti, ti aiuteremo noi”. Torneremo su questo argomento più di una volta, sicuramente al liceo. Questo lo esamineremo più tardi." Ebbene, a cavallo del 9-10 anno, gli stessi insegnanti spiegano agli stessi studenti che ancora non sanno come risolvere le frazioni razionali, qualcosa del genere: “Dov'eri nei due anni precedenti? Questo è stato studiato in algebra in terza media! Cosa potrebbe non essere chiaro qui? È così ovvio!”

Tuttavia, tali spiegazioni non facilitano affatto le cose agli studenti comuni: avevano ancora un pasticcio in testa, quindi in questo momento analizzeremo due semplici esempi, in base al quale vedremo come isolare queste espressioni in problemi reali, che ci condurranno a formule di moltiplicazione abbreviata e come poi applicarle per trasformare espressioni razionali complesse.

Riduzione di frazioni razionali semplici

Compito n. 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

La prima cosa che dobbiamo imparare è identificare i quadrati esatti e le potenze superiori nelle espressioni originali, in base alle quali possiamo poi applicare le formule. Diamo un'occhiata:

Riscriviamo la nostra espressione tenendo conto di questi fatti:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Risposta: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Problema n.2

Passiamo al secondo compito:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Non c'è niente da semplificare qui, perché il numeratore contiene una costante, ma ho proposto questo problema proprio per farti imparare a fattorizzare i polinomi contenenti due variabili. Se invece avessimo il polinomio qui sotto, come lo espanderemmo?

\[((x)^(2))+5x-6=\sinistra(x-... \destra)\sinistra(x-... \destra)\]

Risolviamo l'equazione e troviamo i $x$ che possiamo mettere al posto dei punti:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Possiamo riscrivere il trinomio nel modo seguente:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

Abbiamo imparato come lavorare con un trinomio quadratico: ecco perché avevamo bisogno di registrare questa lezione video. Ma cosa succederebbe se oltre a $x$ e una costante ci fosse anche $y$? Consideriamoli come un altro elemento dei coefficienti, cioè Riscriviamo la nostra espressione come segue:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Scriviamo l'espansione della nostra costruzione quadrata:

\[\sinistra(x-y \destra)\sinistra(x+6y \destra)\]

Quindi, se torniamo all'espressione originale e la riscriviamo tenendo conto delle modifiche, otteniamo quanto segue:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Cosa ci regala un record del genere? Niente, perché non si riduce, non si moltiplica né si divide per nulla. Tuttavia, non appena questa frazione risulta essere parte integrante di un'espressione più complessa, tale espansione tornerà utile. Pertanto, non appena vedi un trinomio quadratico (non importa se è gravato o meno da parametri aggiuntivi), prova sempre a fattorizzarlo.

Sfumature della soluzione

Ricorda le regole di base per convertire le espressioni razionali:

• Tutti i denominatori e i numeratori devono essere scomposti tramite formule di moltiplicazione abbreviate o tramite un discriminante.
• Devi lavorare secondo il seguente algoritmo: quando guardiamo e proviamo a isolare la formula per la moltiplicazione abbreviata, quindi, prima di tutto, proviamo a convertire tutto al massimo grado possibile. Successivamente, eliminiamo il titolo complessivo dalla parentesi.
• Molto spesso incontrerai espressioni con un parametro: altre variabili appariranno come coefficienti. Li troviamo utilizzando la formula di espansione quadratica.

Quindi, una volta che vedi le frazioni razionali, la prima cosa da fare è fattorizzare sia il numeratore che il denominatore in espressioni lineari, usando la moltiplicazione abbreviata o le formule discriminanti.

Diamo un'occhiata ad un paio di queste espressioni razionali e proviamo a fattorizzarle.

Risoluzione di esempi più complessi

Compito n. 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Riscriviamo e proviamo a scomporre ogni termine:

Riscriviamo tutta la nostra espressione razionale tenendo conto di questi fatti:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\sinistra(3a \destra))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3a+((\sinistra(3a \destra))^(2)) \destra))=-1\]

Risposta: $-1$.

Problema n.2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Diamo un'occhiata a tutte le frazioni.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\sinistra(x-2 \destra))^(2))\]

Riscriviamo l'intera struttura tenendo conto delle modifiche:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \sinistra(x-2 \destra))\]

Risposta: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Sfumature della soluzione

Quindi cosa abbiamo appena imparato:

• Non tutti i trinomi quadrati possono essere fattorizzati; questo vale in particolare per i quadrati incompleti della somma o della differenza, che molto spesso si trovano come parti dei cubi della somma o della differenza.
• Costanti, cioè anche i numeri ordinari che non hanno variabili possono fungere da elementi attivi nel processo di espansione. In primo luogo, possono essere tolte dalle parentesi e, in secondo luogo, le costanti stesse possono essere rappresentate sotto forma di potenze.
• Molto spesso, dopo aver scomposto tutti gli elementi, emergono costruzioni opposte. Queste frazioni devono essere ridotte con estrema attenzione, perché cancellandole sopra o sotto appare un ulteriore fattore $-1$ - questa è proprio una conseguenza del fatto che sono opposte.

Risoluzione di problemi complessi

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Consideriamo ogni termine separatamente.

Prima frazione:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\sinistra(b-2 \destra)\sinistra(b+2 \destra)\]

Possiamo riscrivere l'intero numeratore della seconda frazione come segue:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Consideriamo ora il denominatore:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right ))^(2))\]

Riscriviamo l'intera espressione razionale tenendo conto dei fatti di cui sopra:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Risposta: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Sfumature della soluzione

Come abbiamo visto ancora una volta, i quadrati incompleti della somma o i quadrati incompleti della differenza, che spesso si ritrovano nelle vere e proprie espressioni razionali, non bisogna però spaventarli, perché dopo aver trasformato ogni elemento vengono quasi sempre cancellati. Inoltre, in nessun caso dovresti aver paura di grandi costruzioni nella risposta finale: è del tutto possibile che questo non sia un tuo errore (soprattutto se tutto è fattorizzato), ma l'autore intendeva una risposta del genere.

In conclusione, vorrei considerare un altro esempio complesso, che non si riferisce più direttamente alle frazioni razionali, ma contiene tutto ciò che ti aspetta nei test e negli esami reali, vale a dire: fattorizzazione, riduzione a Comune denominatore, riduzione di termini simili. Questo è esattamente ciò che faremo ora.

Risolvere un problema complesso di semplificazione e trasformazione di espressioni razionali

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \destra)\]

Per prima cosa guardiamo e apriamo la prima parentesi: in essa vediamo tre frazioni separate con denominatori diversi, quindi la prima cosa che dobbiamo fare è portare tutte e tre le frazioni a un denominatore comune, e per fare questo ognuna di esse dovrebbe essere fattorizzato:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \destra)\]

Riscriviamo l'intera costruzione come segue:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \destra)\sinistra(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \destra))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ sinistra(x-2 \destra)\sinistra(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \destra))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Questo è il risultato dei calcoli della prima parentesi.

Affrontiamo la seconda fascia:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ Giusto)\]

Riscriviamo la seconda parentesi tenendo conto delle modifiche:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))\]

Ora scriviamo l'intera costruzione originale:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))=\frac(1)(x+2)\]

Risposta: $\frac(1)(x+2)$.

Sfumature della soluzione

Come puoi vedere, la risposta si è rivelata abbastanza ragionevole. Tuttavia, tieni presente: molto spesso durante calcoli su larga scala, quando l'unica variabile appare solo al denominatore, gli studenti dimenticano che questo è il denominatore e dovrebbe essere in fondo alla frazione e scrivono questa espressione al numeratore - questa è un errore grossolano.

Inoltre, vorrei attirare la vostra attenzione particolare sul modo in cui tali compiti vengono formalizzati. In qualsiasi calcolo complesso, tutti i passaggi vengono eseguiti uno per uno: prima contiamo separatamente la prima parentesi, poi la seconda separatamente, e solo alla fine combiniamo tutte le parti e calcoliamo il risultato. In questo modo ci assicuriamo contro errori stupidi, annotiamo attentamente tutti i calcoli e allo stesso tempo non perdiamo altro tempo, come potrebbe sembrare a prima vista.

Insegnare senza costrizione

(Una guida all'affascinante mondo della matematica)

La matematica poi deve essere insegnata in modo che metta ordine nella mente. (MV Lomonosov)

Allora come si insegna la matematica?

Questa domanda interessa a molti.

Il primo passo è eliminare le lacune del passato. Se ti sei perso (non hai capito, non hai studiato in linea di principio, ecc.) Qualsiasi argomento, prima o poi calpesterai sicuramente questo rastrello. Con un risultato classico... Così funziona la matematica.

Che tu stia imparando un nuovo argomento o rivedendone uno vecchio, padroneggia le definizioni e i termini matematici! Tieni presente che non dico "impara", ma dico "maestro". Queste sono cose diverse. Devi capire, ad esempio, cos'è un denominatore, un discriminante o un arcoseno a un livello semplice, persino primitivo. Cos'è, perché è necessario e come gestirlo. La vita diventerà più facile.

Se ti chiedo come si utilizza un dispositivo per attraversare ambienti densi e confinati ti sarà scomodo rispondere, vero? E se capisci che proprio questo dispositivo è una porta normale? In realtà, è in qualche modo più divertente.

E, naturalmente, dobbiamo decidere. Se non sai come decidere, va bene. Devi provare a decidere, provare. Tutti una volta hanno fallito. Ma chi ha provato e riprovato, anche se sbagliando, con errori, ora sa risolvere. E chi non ci ha provato, non ha studiato, non ha mai imparato.

Ecco tre componenti della risposta alla domanda: "Come imparare la matematica?" Elimina le lacune, padroneggia i termini a un livello comprensibile e risolvi i compiti in modo significativo.

Se la matematica ti sembra una giungla di regole, formule, espressioni impossibili da navigare, allora ti consolerò. Lì ci sono sentieri e stelle guida! Ti sistemerai, ti abituerai e inizierai ad ammirare queste terre selvagge...

La matematica del corso scolastico non risolve esempi complessi, perché non sa come. Può benissimo risolvere qualcosa come 5x = 10, un'equazione quadratica attraverso un discriminante, e la stessa semplice dalla trigonometria, dai logaritmi, ecc. E tutto il potere della matematica è finalizzato a semplificare espressioni complesse. Proprio per questo sono necessarie regole e formule per le varie trasformazioni. Ci permettono di scrivere l'espressione originale in una forma diversa a noi conveniente, senza cambiarne l'essenza.

“La matematica è l’arte di chiamare cose diverse con lo stesso nome.” (A. Poincaré)

Ad esempio, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Questo è sempre lo stesso numero 8! Registrato solo in una varietà di forme. Quale tipologia scegliere dipende da noi! Coerentemente con il compito e con il buon senso.

La principale luce guida in matematica è la capacità di trasformare le espressioni. Quasi ogni soluzione inizia con la trasformazione dell'espressione originale. Con l'aiuto di regole e formule, che non sono affatto così folli come si pensa.

Spesso diciamo: “Tutte le formule funzionano da sinistra a destra e da destra a sinistra”. Diciamo che (a + b) quasi tutti lo scriveranno come a + 2ab + b. Ma non tutti (purtroppo) si renderanno conto che x + 2x + 1 può essere scritto come (x + 1) . Ma questo è quello che devi saper fare! Devi conoscere le formule di vista! Essere in grado di riconoscerli in espressioni crittografate da astuti insegnanti, identificare parti di formule e, se necessario, portarle a complete.

All'inizio convertire le espressioni è un po' complicato. Richiede lavoro. Nella fase iniziale è necessario verificare, ove possibile, la correttezza della conversione inversa. Una volta fattorizzati, moltiplicali e forniscine di simili. Abbiamo ottenuto l'espressione originale: evviva! Una volta trovate le radici dell'equazione, sostituiscile nell'espressione originale. Guarda cosa è successo. E così via.

Quindi ti invito a farlo mondo fantastico matematica. Iniziamo il nostro viaggio familiarizzando con le frazioni; questo è forse il punto più vulnerabile per la maggior parte degli scolari.

Buona fortuna!

Lezione 1.

Tipi di frazioni. Trasformazioni.

Chi conosce le frazioni è forte e coraggioso in matematica!

Esistono tre tipi di frazioni.

1. Frazioni comuni , Per esempio: , , , .

A volte invece della linea orizzontale mettono una barra: 1/2, 3/7, 19/5. La barra, sia orizzontale (vinculium) che obliqua (solidus), significa la stessa operazione: dividere il numero superiore (numeratore) per il numero inferiore (denominatore). È tutto! Invece di una linea, è del tutto possibile inserire un segno di divisione: due punti. 1/2 = 1:2.

Quando è possibile una divisione completa, ciò deve essere fatto. Quindi, invece della frazione 32/8, è molto più piacevole scrivere il numero 4. Ad es. 32 si divide semplicemente per 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Non sto nemmeno parlando della frazione 4/1, che è anche uguale a 4. E se non è divisibile per un intero, lo lasciamo come una frazione. A volte bisogna fare l'operazione opposta. Converti un numero intero in una frazione. Ma ne parleremo più avanti.

2. Decimali , ad esempio: 0,5; 3,28; 0,543; 23.32.

3. Numeri misti , Per esempio: , , , .

I numeri misti non sono praticamente utilizzati al liceo. Per poter lavorare con loro, devono essere convertiti in frazioni ordinarie. Ma devi assolutamente essere in grado di farlo! Altrimenti ti imbatterai in un numero del genere in un problema e ti bloccherai... Dal nulla. Ma ricorderemo questa procedura!

Le più versatili sono le frazioni ordinarie. Cominciamo con loro. A proposito, se una frazione contiene tutti i tipi di logaritmi, seni e altre lettere, ciò non cambia nulla. Nel senso che tutte le azioni con espressioni frazionarie non sono diverse dalle azioni con frazioni ordinarie!

Avanti così! L'intera varietà di trasformazioni delle frazioni è fornita da un'unica proprietà! Si chiama così proprietà principale di una frazione. Ricorda: se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati (divisi) per lo stesso numero, la frazione non cambia. Quelli:

Ne abbiamo bisogno, di tutte queste trasformazioni? - tu chiedi. E come! Adesso lo vedrai tu stesso. Innanzitutto, utilizziamo la proprietà di base delle frazioni per ridurre le frazioni. Sembrerebbe una cosa elementare. Dividi numeratore e denominatore per lo stesso numero e il gioco è fatto! È impossibile sbagliare! Ma... l'uomo è un essere creativo. Puoi sbagliare ovunque! Soprattutto se devi ridurre non una frazione della forma 5/10, ma un'espressione razionale frazionaria.

In genere, uno studente non pensa a dividere il numeratore e il denominatore per lo stesso numero (o espressione)! Cancella semplicemente tutto ciò che è uguale sopra e sotto! È qui che si nasconde errore tipico, un errore, se vuoi.

Ad esempio, è necessario semplificare l'espressione: .

Che cosa stiamo facendo? Cancella il fattore a sopra e il grado sotto! Noi abbiamo: .

Tutto è corretto. Ma in realtà ti sei diviso numeratore intero E l'intero denominatore SU moltiplicatore A. Se sei abituato a cancellare semplicemente, puoi cancellare in fretta la lettera a nell'espressione e ottenerla di nuovo. Cosa sarebbe categoricamente sbagliato: un errore imperdonabile. Perché qui numeratore intero acceso e già non condivide! Questa frazione non può essere ridotta.

Quando si abbrevia, è necessario dividere l'intero numeratore e l'intero denominatore!

Ridurre le frazioni rende la vita molto più semplice. Otterrai una frazione da qualche parte, ad esempio 375/1000. Come posso continuare a lavorare con lei adesso? Senza calcolatrice? Moltiplicare, dire, aggiungere, quadrato!? E se non sei troppo pigro, e taglialo accuratamente di cinque, e di altri cinque, e anche... mentre si riduce. Prendiamo 3/8! Molto più carino, vero?

La proprietà di base delle frazioni ti consente di convertire le frazioni in decimali e viceversa, senza calcolatrice! Questo è importante in DH, giusto?

Con le frazioni decimali tutto è semplice. Come si sente, così si scrive! Diciamo 0,25. Questo è zero virgola venticinque centesimi. Quindi scriviamo: 25/100. Riduciamo (dividiamo il numeratore e il denominatore per 25), otteniamo una frazione ordinaria: 1/4. Tutto. Succede e nulla si riduce. Ad esempio, 0,3. Questo è tre decimi, cioè 3/10.

Cosa succede se i numeri interi non sono zero? Va bene. Scriviamo l'intera frazione senza virgole al numeratore e al denominatore: ciò che si sente. Ad esempio: 3.17. Questo è tre virgola diciassettesimi. Scriviamo 317 al numeratore e 100 al denominatore, otteniamo 317/100. Niente viene ridotto, questo significa tutto. Questa è la risposta. Da tutto ciò che è stato detto, una conclusione utile: Qualsiasi frazione decimale può essere convertita in una frazione comune.

Ma alcune persone non possono eseguire la conversione inversa da normale a decimale senza una calcolatrice. Ed è necessario! Come scriverai la risposta!? Leggi attentamente e padroneggia questo processo.

Qual è la caratteristica di una frazione decimale? Il suo denominatore è sempre 10, o 100, o 1000, o 10000, e così via. Se la tua frazione ha questo denominatore, non c'è problema. Ad esempio, 4/10 = 0,4. Oppure 7/100 = 0,07. Oppure 12/10 = 1,2. E se la soluzione risultasse in 1/2? E la risposta deve essere scritta in decimale...

Ricordiamo proprietà principale di una frazione! La matematica ti consente favorevolmente di moltiplicare il numeratore e il denominatore per lo stesso numero. Qualunque cosa, comunque! Tranne zero, ovviamente. Quindi utilizziamo questa proprietà a nostro vantaggio! Per cosa può essere moltiplicato il denominatore, ad es. 2 in modo che diventi 10, o 100, o 1000 (più piccolo è meglio, ovviamente...)? Alle 5, ovviamente. Sentiti libero di moltiplicare il denominatore per 5. Ma poi anche il numeratore deve essere moltiplicato per 5. Otteniamo 1/2 = 0,5. È tutto.

Tuttavia, i denominatori potrebbero essere diversi. Ad esempio, la frazione 3/16. Poi potrete semplicemente dividere 3 per 16. In assenza di una calcolatrice, dovrete dividere con un angolo, come insegnavano alle elementari. Otteniamo 0,1875.

E ci sono anche pessimi denominatori. Ad esempio, non è possibile trasformare la frazione 1/3 in un buon numero decimale. Sia sulla calcolatrice che dividendo per un angolo, otteniamo 0,3333333... Da qui un'altra conclusione utile. Non tutte le frazioni si convertono in un decimale!

Quindi, abbiamo capito le frazioni ordinarie e decimali. Non resta che fare i conti con numeri contrastanti. Per lavorare con loro, devono essere convertiti in frazioni ordinarie. Come farlo? Puoi prendere un bambino di quinta elementare e chiederglielo. Ma non sempre nelle vicinanze ci sarà un bambino di quinta elementare... Dovrai farlo da solo. Non è difficile. Devi moltiplicare il denominatore della parte frazionaria per la parte intera e aggiungere il numeratore della parte frazionaria. Questo sarà il numeratore della frazione comune. E il denominatore? Il denominatore rimarrà lo stesso. Sembra complicato, ma in realtà è tutto semplice. Diamo un'occhiata a un esempio.

Supponiamo che tu abbia visto un numero nel problema con l'orrore:

Ragioniamo con calma, senza panico. L'intera parte è 1. Unità. La parte frazionaria è 3/7. Pertanto, il denominatore della parte frazionaria è 7. Questo denominatore sarà il denominatore della frazione ordinaria. Contiamo: numeratore. Moltiplichiamo 7 per 1 (la parte intera) e aggiungiamo 3 (il numeratore della parte frazionaria). Otteniamo 10. Questo sarà il numeratore di una frazione comune. È tutto. Sembra ancora più semplice in notazione matematica:

Facilmente? Allora assicurati il ​​tuo successo! Converti questi numeri misti , , in frazioni ordinarie. Dovresti ottenere 10/3, 23/10 e 21/4.

Bene, questo è praticamente tutto. Hai ricordato i tipi di frazioni e hai capito come convertirli da un tipo all'altro. La domanda rimane: perché farlo? Dove e quando applicare questa profonda conoscenza?

Qualsiasi esempio stesso suggerisce le azioni necessarie. Se nell'esempio si mescolano frazioni ordinarie, decimali e anche numeri misti, convertiamo tutto in frazioni ordinarie. Si può sempre fare. Ebbene, se è scritto, ad esempio, 0,8 + 0,3, lo contiamo così, senza alcuna traduzione. Perché abbiamo bisogno di lavoro extra? Scegliamo il percorso risolutivo il che per noi è conveniente!

Se il compito riguarda tutte le frazioni decimali, ma um... alcune spaventose, vai a quelle ordinarie e provalo! Forse tutto funzionerà. Ad esempio, dovrai elevare al quadrato il numero 0,125. Non è così facile se non sei abituato a usare la calcolatrice! Non solo devi moltiplicare i numeri in una colonna, devi anche pensare a dove inserire la virgola! Sicuramente non funzionerà nella tua testa! E se passassimo a una frazione ordinaria? 0,125 = 125/1000. Lo riduciamo di 5 (questo è per cominciare). Otteniamo 25/200. Ancora una volta per 5. Otteniamo 5/40. Si sta ancora restringendo! Torniamo a 5! Otteniamo 1/8. Possiamo facilmente elevarlo al quadrato (nella nostra mente!) e ottenere 1/64. Tutto!

Riassumiamo la nostra lezione.

1. Esistono tre tipi di frazioni: numeri ordinari, decimali e misti.

2. I decimali e i numeri misti possono sempre essere convertiti in frazioni. La traduzione inversa non è sempre possibile.

3. La scelta del tipo di frazioni con cui lavorare in un compito dipende dal compito stesso. Se in un compito sono presenti diversi tipi di frazioni, la cosa più affidabile è passare alle frazioni ordinarie.

Consiglio pratico:

1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è l'accuratezza e l'attenzione! Non è parole comuni, non buoni auguri! Questa è una terribile necessità! È meglio scrivere due righe in più in una bozza piuttosto che commettere errori quando si calcola a mente.

2. Negli esempi con tipi diversi frazioni: vai alle frazioni ordinarie.

3. Riduciamo tutte le frazioni finché non si fermano.

4. Riduciamo le espressioni frazionarie multilivello a quelle ordinarie usando la divisione in due punti (seguiamo l'ordine di divisione!).

5. Dividi un'unità per una frazione a mente, semplicemente capovolgendo la frazione.

Ora prova a mettere in pratica la teoria.

Quindi, risolviamolo in modalità esame! Risolviamo l'esempio, lo controlliamo, risolviamo il successivo. Abbiamo deciso tutto: abbiamo ricontrollato dal primo all'ultimo esempio. E solo allora guarda le risposte.

Deciso? Cerchiamo risposte che corrispondano alle tue. Le risposte sono scritte in ordine, lontano dalla tentazione, per così dire...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

Adesso traiamo le conclusioni. Se tutto ha funzionato, sono felice per te! I calcoli di base con le frazioni non sono un tuo problema! Puoi fare cose più serie. Altrimenti... La pazienza e il lavoro ridurranno tutto.

Questo materiale generalizzato è noto dal corso di matematica scolastica. Qui consideriamo frazioni generali con numeri, potenze, radici, logaritmi, funzioni trigonometriche o altri oggetti. Verranno prese in considerazione le trasformazioni fondamentali delle frazioni, indipendentemente dalla loro tipologia.

Cos'è una frazione?

Definizione 1

Esistono molte altre definizioni.

Definizione 2

La barra orizzontale che separa A e B è chiamata barra di frazione o barra frazionaria.

Definizione 3

Viene chiamata l'espressione che appare sopra la linea di frazione numeratore e sotto – denominatore.

Dalle frazioni ordinarie alle frazioni generali

L'introduzione alle frazioni avviene in quinta elementare, quando vengono insegnate le frazioni ordinarie. Dalla definizione è chiaro che numeratore e denominatore sono numeri naturali.

Esempio 1

Ad esempio, 1 5, 2 6, 12 7, 3 1, che può essere scritto come 1/5, 2/6, 12/7, 3/1.

Dopo aver studiato le operazioni con le frazioni ordinarie, ci occupiamo di frazioni che non hanno un numero naturale al denominatore, ma espressioni con numeri naturali.

Esempio 2

Ad esempio, 1 + 3 5, 9 - 5 16, 2 · 7 9 · 12.

Quando si tratta di frazioni in cui sono presenti lettere o espressioni di lettere, si scrive in questo modo:

a + b c , a - b c , a · c b · d .

Definizione 4

Fissiamo le regole per addizione, sottrazione, moltiplicazione delle frazioni ordinarie a c + b c = a + b c, a c - b c = a - b c, a b v d = a c b d

Per calcolare, spesso è necessario convertire i numeri misti in frazioni ordinarie. Quando denotiamo l'intera parte come a, quindi la parte frazionaria ha la forma b / c, otteniamo una frazione della forma a · c + b c, che spiega l'aspetto di tali frazioni 2 · 11 + 3 11, 5 · 2 + 1 2 e così via.

La linea di frazione è considerata un segno di divisione. Pertanto il record può essere trasformato in un altro modo:

1: a - (2 b + 1) = 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 = 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2, dove il quoziente 4 : 2 può essere sostituito con una frazione, quindi otteniamo un'espressione della forma

5 - 1, 7 3 2 3 - 4 2

I calcoli con frazioni razionali occupano un posto speciale in matematica, poiché il numeratore e il denominatore possono contenere non solo valori numerici, ma polinomi.

Esempio 3

Ad esempio, 1 x 2 + 1, x · y - 2 · y 2 0, 5 - 2 · x + y 3.

Le espressioni razionali sono trattate come frazioni generali.

Esempio 4

Ad esempio, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3, 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6 x .

Lo studio delle radici, delle potenze con esponente razionale, dei logaritmi, delle funzioni trigonometriche suggerisce che la loro applicazione appare in determinate frazioni della forma:

Esempio 5

a n b n , 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α.

Le frazioni possono essere combinate, cioè hanno la forma x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, log x + 2 log x 2 - 2 x + 1.

Tipi di conversioni di frazioni

Per una serie di trasformazioni identiche, vengono considerati diversi tipi:

Definizione 5

• trasformazione tipica per lavorare con il numeratore e il denominatore;
• cambiare il segno prima di un'espressione frazionaria;
• riduzione a un denominatore comune e riduzione delle frazioni;
• rappresentazione di una frazione come somma di polinomi.

Conversione delle espressioni numeratore e denominatore

Definizione 6

Con espressioni identicamente uguali, abbiamo che la frazione risultante è identicamente uguale a quella originale.

Se viene data una frazione della forma A/B, allora A e B sono alcune espressioni. Quindi, dopo la sostituzione, otteniamo una frazione della forma A 1 / B 1 . È necessario dimostrare la validità dell'uguaglianza A/A 1 = B/B 1 per qualsiasi valore delle variabili che soddisfano l'ODZ.

Ce l'abbiamo UN E UN 1 E B E B1 sono identicamente uguali, anche i loro valori sono uguali. Ne consegue che per qualsiasi valore A/B E A1/B1 queste frazioni saranno uguali.

Questa conversione semplifica il lavoro con le frazioni se devi convertire il numeratore e il denominatore separatamente.

Esempio 6

Ad esempio, prendiamo una frazione della forma 2/18, che trasformiamo in 2 2 · 3 · 3. Per fare ciò, espandiamo il denominatore in fattori primari. La frazione x 2 + x · y x 2 + 2 · x · y + y 2 = x · x + y (x + y) 2 ha un numeratore della forma x 2 + x · y, il che significa che è necessario sostituirlo con x · (x + y), che si otterrà togliendo tra parentesi il fattore comune x. Denominatore della frazione data x 2 + 2 x y + y 2 collassare utilizzando la formula di moltiplicazione abbreviata. Quindi troviamo che la sua espressione identicamente uguale è (x + y) 2 .

Esempio 7

Se viene data una frazione della forma sin 2 3 · φ - π + cos 2 3 · φ - π φ · φ 5 6, quindi per semplificare è necessario sostituire il numeratore con 1 secondo la formula e portare il denominatore alla forma φ 11 12. Quindi troviamo che 1 φ 11 12 è uguale alla frazione data.

Cambiare il segno davanti a una frazione, nel suo numeratore, denominatore

Anche la conversione delle frazioni è un cambio di segno davanti a una frazione. Diamo un'occhiata ad alcune regole:

Definizione 7

• cambiando il segno del numeratore, otteniamo una frazione uguale a quella data, e letteralmente assomiglia a _ - A - B = A B, dove A e B sono alcune espressioni;
• cambiando il segno davanti alla frazione e davanti al numeratore, otteniamo che - - A B = A B ;
• sostituendo il segno davanti alla frazione e il suo denominatore, otteniamo che - A - B = A B.

Prova

Il segno meno viene nella maggior parte dei casi trattato come un coefficiente con segno - 1 e la barra frazionaria è una divisione. Da qui otteniamo che - A - B = - 1 · A: - 1 · B. Raggruppando i fattori, abbiamo questo

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

Dopo aver dimostrato la prima affermazione giustifichiamo le restanti. Noi abbiamo:

A B = (- 1) · (((- 1) · A) : B) = (- 1 · - 1) · A: B = = 1 · (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) · (A: - 1 · B) = ((- 1) : (- 1)) · (A: B) = = 1 · (A: B) = A: B = A B

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 8

Quando è necessario convertire la frazione 3 / 7 nella forma - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7, si fa allo stesso modo con una frazione nella forma - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x · 3 x .

Le trasformazioni vengono eseguite come segue:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x · 3 x

Ridurre una frazione a un nuovo denominatore

Studiando le frazioni ordinarie, abbiamo toccato la proprietà fondamentale delle frazioni, che ci consente di moltiplicare e dividere il numeratore e il denominatore per lo stesso numero naturale. Ciò può essere visto dall'uguaglianza a m b m = a b e a: m b: m = a b, dove a, b, m sono numeri naturali.

Questa uguaglianza è valida per qualsiasi valore di a, b, m e tutti gli a, tranne b ≠ 0 e m ≠ 0. Cioè, otteniamo che se il numeratore della frazione A / B con A e C, che sono alcune espressioni, viene moltiplicato o diviso per l'espressione M, diversa da 0, allora otteniamo una frazione identicamente uguale a quella iniziale . Otteniamo che A · M B · M = A B e A: M B: M = A B.

Ciò dimostra che le trasformazioni si basano su 2 trasformazioni: riduzione a un denominatore comune, riduzione.

Quando si riduce a un denominatore comune, la moltiplicazione viene eseguita per lo stesso numero o espressione del numeratore e del denominatore. Cioè, passiamo alla risoluzione della frazione trasformata identica e uguale.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 9

Se prendiamo la frazione x + 1 0, 5 · x 3 e la moltiplichiamo per 2, otteniamo che il nuovo denominatore è 2 · 0, 5 · x 3 = x 3 e l'espressione diventa 2 · x + 1 x 3 .

Esempio 10

Per ridurre la frazione 1 - x 2 x 2 3 1 + ln x ad un altro denominatore della forma 6 x 1 + ln x 3, è necessario moltiplicare il numeratore e il denominatore per 3 x 1 3 (1 + ln x) 2. Di conseguenza, otteniamo la frazione 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3

È applicabile anche una trasformazione come l'eliminazione dell'irrazionalità nel denominatore. Elimina la necessità di una radice nel denominatore, il che semplifica il processo di soluzione.

Riduzione delle frazioni

La proprietà principale è la trasformazione, cioè la sua riduzione diretta. Quando riduciamo, otteniamo una frazione semplificata. Diamo un'occhiata ad un esempio:

Esempio 11

Oppure una frazione della forma x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x, dove la riduzione viene effettuata utilizzando x 3, x 3, 2 x 2 + 1 + 3 o un'espressione della forma x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 . Quindi otteniamo la frazione x 2 3 + 1 3 x

Ridurre una frazione è semplice quando i fattori comuni sono immediatamente evidenti. In pratica ciò non avviene spesso, per cui è necessario prima effettuare alcune trasformazioni di espressioni di questo tipo. Ci sono momenti in cui è necessario trovare il fattore comune.

Se hai una frazione della forma x 2 2 3 · (1 - cos 2 x) 2 · sin x 2 · cos x 2 2 · x 1 3 , allora è necessario applicare le formule trigonometriche e le proprietà delle potenze in modo che tu può convertire la frazione nella forma x 1 3 · x 2 1 3 · sin 2 x sin 2 x · x 1 3 . Ciò consentirà di ridurlo di x 1 3 · sin 2 x.

Rappresentare una frazione come somma

Quando il numeratore ha una somma algebrica di espressioni come A 1 , A 2 , ... , A n, e si indica il denominatore B, allora questa frazione può essere rappresentata come A 1 / B , A 2 / B , ... , A n / B.

Definizione 8

Per fare ciò, sistemiamo questo A 1 + A 2 + . . . + UN n B = UN 1 B + UN 2 B + . . . +A e B.

Questa trasformazione è fondamentalmente diversa dall'addizione di frazioni con gli stessi esponenti. Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 12

Data una frazione della forma sin x - 3 · x + 1 + 1 x 2 , che rappresenteremo come somma algebrica di frazioni. Per fare questo, immaginalo come sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 o sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 o sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2.

Qualsiasi frazione che abbia la forma A/B può essere rappresentata in qualsiasi modo come somma di frazioni. L'espressione A al numeratore può essere diminuita o aumentata di qualsiasi numero o espressione A 0, il che consentirà di passare a A + A 0 B - A 0 B.

La scomposizione di una frazione nella sua forma più semplice è un caso speciale per convertire una frazione in una somma. Molto spesso viene utilizzato in calcoli complessi per l'integrazione.

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Questo articolo fornisce uno sguardo generale sulla conversione delle espressioni contenenti frazioni. Qui esamineremo le trasformazioni di base tipiche delle espressioni con frazioni.

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Espressioni con frazioni ed espressioni frazionarie

Per prima cosa chiariamo di che tipo di trasformazione dell’espressione ci occuperemo.

Il titolo dell’articolo contiene la frase autoesplicativa “ espressioni con frazioni" Cioè, di seguito parleremo della conversione di espressioni numeriche ed espressioni con variabili che contengono almeno una frazione.

Notiamo subito che dopo la pubblicazione dell'articolo “Trasformazione delle frazioni: una visione generale” non siamo più interessati alle singole frazioni. Considereremo quindi ulteriormente somme, differenze, prodotti, espressioni parziali e più complesse con radici, potenze, logaritmi, che sono uniti solo dalla presenza di almeno una frazione.

E facciamo anche una prenotazione su espressioni frazionarie. Queste non sono la stessa cosa delle espressioni con frazioni. Le espressioni con frazioni sono un concetto più generale. Non tutte le espressioni con frazioni sono espressioni di frazioni. Ad esempio, l'espressione non è un'espressione frazionaria, sebbene contenga una frazione, è un'espressione razionale intera. Quindi non dovresti chiamare un'espressione con frazioni un'espressione di frazione senza essere completamente sicuro che lo sia.

Trasformazioni di identità di base di espressioni con frazioni

Esempio.

Semplifica l'espressione .

Soluzione.

In questo caso, puoi aprire le parentesi, che danno l'espressione , che contiene termini simili e , nonché −3 e 3 . Dopo averli riuniti otteniamo la frazione .

Mostriamo una breve forma di scrittura della soluzione:

Risposta:

.

Lavorare con le singole frazioni

Le espressioni di cui parliamo si differenziano dalle altre espressioni principalmente per la presenza di frazioni. E la presenza delle frazioni richiede strumenti per lavorare con esse. In questo paragrafo discuteremo della trasformazione delle singole frazioni incluse nella notazione di una determinata espressione, e nel paragrafo successivo passeremo all'esecuzione di azioni con le frazioni che compongono l'espressione originale.

Con qualsiasi frazione che sia parte integrante dell'espressione originale, puoi eseguire qualsiasi trasformazione indicata nell'articolo conversione delle frazioni. Cioè, puoi prendere una frazione separata, lavorare con il suo numeratore e denominatore, ridurla, ridurla a un nuovo denominatore, ecc. È chiaro che con questa trasformazione la frazione selezionata verrà sostituita da una frazione identicamente uguale e l'espressione originale verrà sostituita da un'espressione identicamente uguale. Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio.

Converti un'espressione con una frazione ad una forma più semplice.

Soluzione.

Iniziamo la trasformazione lavorando con la frazione. Per prima cosa apriamo le parentesi e presentiamo termini simili al numeratore della frazione: . Ora si chiede di togliere tra parentesi il fattore comune x al numeratore e la successiva riduzione della frazione algebrica: . Tutto ciò che resta è sostituire il risultato risultante invece della frazione nell'espressione originale, che dà .

Risposta:

.

Fare cose con le frazioni

Parte del processo di conversione delle espressioni frazionarie spesso implica l'azione operazioni con le frazioni. Vengono eseguiti secondo l'ordine di azioni accettato. Vale anche la pena tenere presente che qualsiasi numero o espressione può sempre essere espresso come una frazione con denominatore 1.

Esempio.

Semplifica l'espressione .

Soluzione.

La soluzione del problema può essere affrontata da diverse angolazioni. Nell’ambito dell’argomento in trattazione procederemo eseguendo operazioni con le frazioni. Cominciamo con la moltiplicazione delle frazioni:

Ora scriveremo il prodotto sotto forma di frazione con denominatore 1, dopodiché sottraremo le frazioni:

Se lo desideri e necessario, puoi ancora liberarti dall'irrazionalità nel denominatore , dove è possibile completare la trasformazione.

Risposta:

Applicazione delle proprietà di radici, potenze, logaritmi, ecc.

La classe delle espressioni con frazioni è molto ampia. Tali espressioni, oltre alle frazioni stesse, possono contenere radici, potenze con vari esponenti, moduli, logaritmi, funzioni trigonometriche e così via. Naturalmente durante la conversione vengono applicate le proprietà corrispondenti.

Applicabile alle frazioni, vale la pena evidenziare la proprietà della radice di una frazione, la proprietà di una frazione a potenza, la proprietà del modulo del quoziente e la proprietà del logaritmo della differenza .

Per chiarezza, ecco alcuni esempi. Ad esempio, nell'espressione Può essere utile, in base alle proprietà del grado, sostituire la prima frazione con il grado, che permette poi di presentare l'espressione sotto forma di differenza al quadrato. Quando si converte un'espressione logaritmica puoi sostituire il logaritmo di una frazione con la differenza di logaritmi, che in seguito ti permetterà di riportare termini simili e quindi semplificare l'espressione: . La conversione delle espressioni trigonometriche può richiedere la sostituzione del rapporto tra seno e coseno dello stesso angolo con una tangente. Potrebbe anche essere necessario passare da un mezzo argomento a un argomento intero utilizzando le formule appropriate, eliminando così l'argomento frazione, ad esempio: .

Applicazione delle proprietà di radici, potenze, ecc. la trasformazione delle espressioni è trattata più dettagliatamente negli articoli:

• Trasformazione di espressioni irrazionali utilizzando le proprietà delle radici,
• Conversione di espressioni utilizzando le proprietà delle potenze,
• Conversione di espressioni logaritmiche utilizzando le proprietà dei logaritmi,
• Conversione di espressioni trigonometriche.

Numeri decimali come 0,2; 1,05; 3.017, ecc. come vengono ascoltati, così vengono scritti. Zero punto due, otteniamo una frazione. Uno virgola cinquecentesimo, otteniamo una frazione. Tre virgola diciassettesimi, otteniamo la frazione. I numeri prima della virgola rappresentano la parte intera della frazione. Il numero dopo la virgola decimale è il numeratore della frazione futura. Se c'è un numero a una cifra dopo il punto decimale, il denominatore sarà 10, se c'è un numero a due cifre - 100, un numero a tre cifre - 1000, ecc. Alcune frazioni risultanti possono essere ridotte. Nei nostri esempi

Convertire una frazione in un numero decimale

Questo è l'inverso della trasformazione precedente. Qual è la caratteristica di una frazione decimale? Il suo denominatore è sempre 10, o 100, o 1000, o 10000, e così via. Se la tua frazione comune ha un denominatore come questo, non c'è problema. Ad esempio, o

Se la frazione è, ad esempio . In questo caso è necessario utilizzare la proprietà di base di una frazione e convertire il denominatore in 10, 100 o 1000... Nel nostro esempio, se moltiplichiamo numeratore e denominatore per 4, otteniamo una frazione che può essere scritto come numero decimale 0,12.

Alcune frazioni sono più facili da dividere che convertire il denominatore. Per esempio,

Alcune frazioni non possono essere convertite in decimali!
Per esempio,

Trasformare una frazione mista in una frazione impropria

Una frazione mista, ad esempio, può essere facilmente convertita in una frazione impropria. Per fare ciò, moltiplicare l'intera parte per il denominatore (in basso) e aggiungerla con il numeratore (in alto), lasciando invariato il denominatore (in basso). Questo è

Quando converti una frazione mista in una frazione impropria, ricorda che puoi utilizzare l'addizione di frazioni

Conversione di una frazione impropria in frazione mista (evidenziando l'intera parte)

Una frazione impropria può essere convertita in frazione mista evidenziando l'intera parte. Diamo un'occhiata a un esempio. Determiniamo quanti tempi interi “3” rientrano in “23”. Oppure dividi 23 per 3 su una calcolatrice, il numero intero fino alla virgola è quello desiderato. Questo è "7". Successivamente, determiniamo il numeratore della frazione futura: moltiplichiamo il risultante “7” per il denominatore “3” e sottraiamo il risultato dal numeratore “23”. È come se trovassimo l’extra che rimane del numeratore “23” se togliamo la quantità massima di “3”. Lasciamo invariato il denominatore. Tutto è fatto, scrivi il risultato