Dimostrare il limite di Cauchy della funzione. Limite di una funzione - MT1205: Analisi matematica per economisti - Informatica aziendale. Definizione rigorosa del limite di una funzione

I limiti creano molti problemi a tutti gli studenti di matematica. Per risolvere un limite, a volte è necessario utilizzare molti trucchi e scegliere tra una varietà di metodi di soluzione esattamente quello adatto a un particolare esempio.

In questo articolo non ti aiuteremo a comprendere i limiti delle tue capacità o a comprendere i limiti del controllo, ma proveremo a rispondere alla domanda: come comprendere i limiti nella matematica superiore? La comprensione arriva con l'esperienza, quindi allo stesso tempo forniremo diversi esempi dettagliati di risoluzione dei limiti con spiegazioni.

Il concetto di limite in matematica

La prima domanda è: qual è questo limite e il limite di cosa? Possiamo parlare dei limiti delle sequenze e delle funzioni numeriche. A noi interessa il concetto di limite di una funzione, poiché è ciò che gli studenti incontrano più spesso. Ma prima, la definizione più generale di limite:

Diciamo che c'è qualche valore variabile. Se questo valore nel processo di cambiamento si avvicina illimitatamente a un certo numero UN , Quello UN – il limite di questo valore.

Per una funzione definita in un certo intervallo f(x)=y tale numero è chiamato limite UN , a cui tende la funzione quando X , tendente ad un certo punto UN . Punto UN appartiene all'intervallo su cui è definita la funzione.

Sembra complicato, ma è scritto in modo molto semplice:

Lim- dall'inglese limite- limite.

Esiste anche una spiegazione geometrica per determinare il limite, ma qui non approfondiremo la teoria, poiché siamo più interessati al lato pratico piuttosto che a quello teorico della questione. Quando lo diciamo X tende ad un certo valore, ciò significa che la variabile non assume il valore di un numero, ma si avvicina ad esso infinitamente vicino.

Facciamo un esempio specifico. Il compito è trovare il limite.

Per risolvere questo esempio, sostituiamo il valore x=3 in una funzione. Noi abbiamo:

A proposito, se sei interessato alle operazioni di base sulle matrici, leggi un articolo separato su questo argomento.

Negli esempi X può tendere a qualsiasi valore. Può essere qualsiasi numero o infinito. Ecco un esempio quando X tende all'infinito:

Intuitivamente, maggiore è il numero al denominatore, minore sarà il valore che assumerà la funzione. Quindi, con una crescita illimitata X Senso 1/x diminuirà e si avvicinerà allo zero.

Come puoi vedere, per risolvere il limite è sufficiente sostituire nella funzione il valore a cui tendere X . Tuttavia, questo è il caso più semplice. Spesso trovare il limite non è così ovvio. Nei limiti ci sono incertezze del tipo 0/0 O infinito/infinito . Cosa fare in questi casi? Ricorri ai trucchi!

Incertezze dentro

Incertezza della forma infinito/infinito

Lasciamo che ci sia un limite:

Se proviamo a sostituire l'infinito nella funzione, otterremo l'infinito sia al numeratore che al denominatore. In generale, vale la pena dire che c'è un certo elemento artistico nel risolvere tali incertezze: bisogna notare come è possibile trasformare la funzione in modo tale che l'incertezza scompaia. Nel nostro caso dividiamo numeratore e denominatore per X nel grado senior. Cosa accadrà?

Dall'esempio già discusso sopra sappiamo che i termini contenenti x al denominatore tenderanno a zero. Allora la soluzione al limite è:

Per risolvere le incertezze sul tipo infinito/infinito dividi numeratore e denominatore per X al massimo grado.

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Altro tipo di incertezza: 0/0

Come sempre, sostituendo i valori nella funzione x=-1 dà 0 al numeratore e al denominatore. Guarda un po' più da vicino e noterai che abbiamo un'equazione quadratica al numeratore. Troviamo le radici e scriviamo:

Riduciamo e otteniamo:

Quindi, se ti trovi di fronte all'incertezza del tipo 0/0 – Fattorizzare numeratore e denominatore.

Per facilitare la risoluzione degli esempi, presentiamo una tabella con i limiti di alcune funzioni:

Il governo dell'Hopital all'interno

Un altro modo potente per eliminare entrambi i tipi di incertezza. Qual è l'essenza del metodo?

Se c'è incertezza nel limite, prendi la derivata del numeratore e del denominatore finché l'incertezza scompare.

La regola di L'Hopital è la seguente:

Punto importante : il limite in cui devono esistere le derivate del numeratore e del denominatore invece del numeratore e del denominatore.

E ora - un esempio reale:

C'è una tipica incertezza 0/0 . Prendiamo le derivate del numeratore e del denominatore:

Voilà, l'incertezza viene risolta in modo rapido ed elegante.

Ci auguriamo che tu possa applicare utilmente queste informazioni nella pratica e trovare la risposta alla domanda "come risolvere i limiti nella matematica superiore". Se devi calcolare il limite di una sequenza o il limite di una funzione in un punto e non c'è assolutamente tempo per questo lavoro, contatta un servizio studenti professionale per una soluzione rapida e dettagliata.

Viene fornita la formulazione dei principali teoremi e proprietà del limite di una funzione. Vengono fornite le definizioni di limiti finiti e infiniti nei punti finiti e all'infinito (bilaterale e unilaterale) secondo Cauchy e Heine. Vengono considerate le proprietà aritmetiche; teoremi relativi alle disuguaglianze; Criterio di convergenza di Cauchy; limite di una funzione complessa; proprietà delle funzioni infinitesime, infinitamente grandi e monotone. Viene data la definizione di funzione.

Contenuto

Seconda definizione secondo Cauchy

Il limite di una funzione (secondo Cauchy) poiché il suo argomento x tende a x 0 è un numero finito o punto all'infinito a per il quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1) esiste un intorno così forato del punto x 0 , su cui la funzione f (X) determinato;
2) per ogni intorno del punto a appartenente a , esiste un tale intorno forato del punto x 0 , su cui i valori della funzione appartengono all'intorno selezionato del punto a:
A .

Qui a e x 0 possono anche essere numeri finiti o punti all'infinito. Utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, questa definizione può essere scritta come segue:
.

Se prendiamo come insieme l'intorno sinistro o destro di un punto finale, otteniamo la definizione di limite di Cauchy a sinistra o a destra.

Teorema
Le definizioni di Cauchy e Heine del limite di una funzione sono equivalenti.
Prova

Intorni di punti applicabili

Quindi, in effetti, la definizione di Cauchy significa quanto segue.
Per ogni numero positivo , ci sono numeri , così che per tutti gli x appartenenti all'intorno punteggiato del punto : , i valori della funzione appartengono all'intorno del punto a: ,
Dove , .

Non è molto comodo lavorare con questa definizione, poiché i quartieri sono definiti utilizzando quattro numeri. Ma si può semplificare introducendo quartieri con estremità equidistanti. Cioè, puoi mettere , . Quindi otterremo una definizione che è più facile da usare quando si dimostrano i teoremi. Inoltre, equivale alla definizione in cui vengono utilizzati intorni arbitrari. La dimostrazione di questo fatto è data nella sezione “Equivalenza delle definizioni di Cauchy del limite di una funzione”.

Allora possiamo dare una definizione unificata del limite di una funzione in punti finiti e infinitamente distanti:
.
Qui per gli endpoint
; ;
.
Qualsiasi intorno di punti all'infinito viene perforato:
; ; .

Limiti finiti di funzione agli estremi

Il numero a è chiamato limite della funzione f (X) al punto x 0 , Se
1) la funzione è definita su un intorno forato del punto finale;
2) per ogni esiste tale che dipende da , tale che per ogni x per cui , vale la disuguaglianza
.

Utilizzando i simboli logici di esistenza e universalità, la definizione del limite di una funzione può essere scritta come segue:
.

Limiti unilaterali.
Limite sinistro in un punto (limite sinistro):
.
Limite destro in un punto (limite destro):
.
I limiti sinistro e destro sono spesso indicati come segue:
; .

Limiti finiti di una funzione nei punti all'infinito

I limiti nei punti all'infinito sono determinati in modo simile.
.
.
.

Limiti di funzioni infiniti

È inoltre possibile introdurre definizioni di limiti infiniti di determinati segni uguali a e :
.
.

Proprietà e teoremi del limite di una funzione

Assumiamo inoltre che le funzioni in esame siano definite nel corrispondente intorno punteggiato del punto , che è un numero finito o uno dei simboli: . Può anche essere un punto limite unilaterale, cioè avere la forma o . L'intorno è bilaterale per un limite bilaterale e unilaterale per un limite unilaterale.

Proprietà di base

Se i valori della funzione f (X) modificare (o rendere indefinito) un numero finito di punti x 1, x 2, x 3, ... x n, allora questo cambiamento non influenzerà l'esistenza e il valore del limite della funzione in un punto x arbitrario 0 .

Se esiste un limite finito, allora esiste un intorno perforato del punto x 0 , su cui la funzione f (X) limitato:
.

Sia la funzione nel punto x 0 limite finito diverso da zero:
.
Quindi, per qualsiasi numero c dell'intervallo , esiste un intorno perforato del punto x 0 , per che cosa ,
, Se ;
, Se .

Se, in qualche zona delimitata del punto, , è una costante, allora .

Se ci sono limiti finiti ee su qualche intorno forato del punto x 0
,
Quello .

Se , e su qualche intorno del punto
,
Quello .
In particolare, se in qualche intorno di un punto
,
allora se, allora e;
se , allora e .

Se su qualche zona perforata di un punto x 0 :
,
ed esistono limiti finiti (o infiniti di un certo segno):
, Quello
.

Le prove delle principali proprietà sono riportate nella pagina
"Proprietà fondamentali del limite di una funzione."

Lasciamo che le funzioni e siano definite in qualche quartiere forato del punto. E lasciamo che ci siano limiti finiti:
E .
E sia C una costante, cioè un dato numero. Poi
;
;
;
, Se .

Se poi.

Le dimostrazioni delle proprietà aritmetiche sono fornite nella pagina
"Proprietà aritmetiche del limite di una funzione".

Criterio di Cauchy per l'esistenza di un limite di una funzione

Teorema
Affinché una funzione definita su un intorno perforato di un punto x finito o infinito 0 , avesse a questo punto un limite finito, è necessario e sufficiente che per ogni ε > 0 c'era un quartiere così forato del punto x 0 , che per qualsiasi punto e a partire da questo intorno vale la seguente disuguaglianza:
.

Limite di una funzione complessa

Teorema sul limite di una funzione complessa
Lascia che la funzione abbia un limite e mappa un intorno perforato di un punto su un intorno perforato di un punto. Lascia che la funzione sia definita su questo intorno e abbia un limite su di esso.
Ecco i punti finali o infinitamente distanti: . I quartieri e i loro limiti corrispondenti possono essere bilaterali o unilaterali.
Allora esiste un limite di una funzione complessa ed è uguale a:
.

Il teorema limite di una funzione complessa si applica quando la funzione non è definita in un punto o ha valore diverso dal limite. Per applicare questo teorema, deve esserci un intorno forato del punto in cui l'insieme dei valori della funzione non contiene il punto:
.

Se la funzione è continua nel punto , allora è possibile applicare il segno limite all'argomento della funzione continua:
.
Il seguente è un teorema corrispondente a questo caso.

Teorema sul limite di una funzione continua di una funzione
Sia dato un limite alla funzione g (X) come x → x 0 , ed è uguale a t 0 :
.
Ecco il punto x 0 può essere finito o infinitamente distante: .
E sia la funzione f (T) continuo nel punto t 0 .
Allora esiste un limite della funzione complessa f (g(x)), ed è uguale a f (t0):
.

Le dimostrazioni dei teoremi sono riportate nella pagina
"Limite e continuità di una funzione complessa".

Funzioni infinitesime e infinitamente grandi

Funzioni infinitesime

Definizione
Una funzione si dice infinitesima se
.

Somma, differenza e prodotto di un numero finito di funzioni infinitesime in è una funzione infinitesima in .

Prodotto di una funzione limitata su qualche intorno forato del punto , ad un infinitesimo at è una funzione infinitesima at .

Affinché una funzione abbia limite finito è necessario e sufficiente che
,
dove è una funzione infinitesima in .

"Proprietà delle funzioni infinitesime".

Funzioni infinitamente grandi

Definizione
Una funzione si dice infinitamente grande se
.

La somma o la differenza di una funzione limitata, su un intorno perforato del punto , e di una funzione infinitamente grande in è una funzione infinitamente grande in .

Se la funzione è infinitamente grande per , e la funzione è limitata in qualche intorno del punto , allora
.

Se la funzione , su qualche intorno forato del punto , soddisfa la disuguaglianza:
,
e la funzione è infinitesima in:
, e (su qualche zona perforata del punto), quindi
.

Le prove delle proprietà sono presentate nella sezione
"Proprietà di funzioni infinitamente grandi".

Relazione tra funzioni infinitamente grandi e infinitesime

Dalle due proprietà precedenti segue la connessione tra funzioni infinitamente grandi e infinitesime.

Se una funzione è infinitamente grande in , allora la funzione è infinitesima in .

Se una funzione è infinitesima per , e , allora la funzione è infinitamente grande per .

La relazione tra una funzione infinitesima e una funzione infinitamente grande può essere espressa simbolicamente:
, .

Se una funzione infinitesima ha un certo segno in , cioè è positiva (o negativa) in qualche intorno del punto , allora questo fatto può essere espresso come segue:
.
Allo stesso modo, se una funzione infinitamente grande ha un certo segno in , allora scrivono:
.

Quindi la connessione simbolica tra funzioni infinitamente piccole e infinitamente grandi può essere integrata con le seguenti relazioni:
, ,
, .

Ulteriori formule relative ai simboli dell'infinito possono essere trovate nella pagina
"Punti all'infinito e loro proprietà."

Limiti di funzioni monotone

Definizione
Viene chiamata una funzione definita su un insieme di numeri reali X strettamente crescente, se per tutti tale che vale la seguente disuguaglianza:
.
Di conseguenza, per strettamente decrescente funzione vale la seguente disuguaglianza:
.
Per non decrescente:
.
Per non crescente:
.

Ne consegue che una funzione strettamente crescente è anche non decrescente. Una funzione strettamente decrescente è anche non crescente.

La funzione viene chiamata monotono, se non è decrescente o non crescente.

Teorema
Lascia che la funzione non diminuisca nell'intervallo in cui .
Se è delimitato superiormente dal numero M: allora esiste un limite finito. Se non limitato dall'alto, allora .
Se è limitato dal basso dal numero m: allora il limite è finito. Se non limitato dal basso, allora .

Se i punti a e b sono all'infinito, nelle espressioni i segni limite significano che .
Questo teorema può essere formulato in modo più compatto.

Lascia che la funzione non diminuisca nell'intervallo in cui . Allora ci sono limiti unilaterali nei punti a e b:
;
.

Un teorema simile per una funzione non crescente.

Lascia che la funzione non aumenti nell'intervallo in cui . Poi ci sono limiti unilaterali:
;
.

La dimostrazione del teorema è presentata nella pagina
"Limiti delle funzioni monotone".

Definizione della funzione

Funzione y = f (X)è una legge (regola) secondo la quale ad ogni elemento x dell'insieme X è associato uno ed un solo elemento y dell'insieme Y.

Elemento x ∈X chiamato argomento della funzione O variabile indipendente.
Elemento y ∈Y chiamato valore della funzione O variabile dipendente.

L'insieme X è chiamato dominio della funzione.
Insieme di elementi y ∈Y, che hanno preimmagini nell'insieme X, viene chiamato area o insieme di valori di funzione.

Viene richiamata la funzione vera e propria limitato dall'alto (dal basso), se esiste un numero M tale che la disuguaglianza vale per tutti:
.
Viene richiamata la funzione numerica limitato, se esiste un numero M tale che per tutti:
.

Bordo superiore O limite superiore esatto Una funzione reale è chiamata il numero più piccolo che limita dall'alto il suo intervallo di valori. Cioè questo è un numero s per il quale, per tutti e per chiunque, esiste un argomento il cui valore della funzione supera s′: .
Il limite superiore di una funzione può essere indicato come segue:
.

Rispettivamente bordo inferiore O limite inferiore esatto Una funzione reale è chiamata il numero più grande che limita il suo intervallo di valori dal basso. Cioè questo è un numero i per il quale, per tutti e per chiunque, esiste un argomento il cui valore della funzione è inferiore a i′: .
Il minimo di una funzione può essere indicato come segue:
.

Riferimenti:
L.D. Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.
CM. Nikolsky. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.

Guarda anche:

Funzioni infinitamente piccole e infinitamente grandi. Il concetto di incertezza. Scoprire le incertezze più semplici. Il primo e il secondo sono limiti meravigliosi. Equivalenze fondamentali. Funzioni equivalenti alle funzioni nell'intorno.

Numerico funzioneè una corrispondenza che associa ogni numero x di un dato insieme con un singolo numero y.

MODI PER IMPOSTARE LE FUNZIONI

Metodo analitico: la funzione viene specificata utilizzando

formula matematica.

Metodo tabulare: la funzione viene specificata utilizzando una tabella.

Metodo descrittivo: la funzione è specificata mediante descrizione verbale

Metodo grafico: la funzione viene specificata utilizzando un grafico

Limiti all'infinito

Limiti di una funzione all'infinito

Funzioni elementari:

1) funzione di potenza y=x n

2) funzione esponenziale y=a x

3) funzione logaritmica y=log a x

4) funzioni trigonometriche y=sen x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

5) funzioni trigonometriche inverse y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

Permettere Quindi il sistema impostato

è un filtro e si denota o Limite è detto limite della funzione f quando x tende all'infinito.

Def.1. (secondo Cauchy). Sia data la funzione y=f(x): X à Y e un punto UNè il limite per l'insieme X. Il numero UN chiamato limite della funzione y=f(x) al puntoUN , se per ogni ε > 0 è possibile specificare un δ > 0 tale che per ogni xX che soddisfa le disuguaglianze 0< |x-UN| < δ, выполняется |f(x) – UN| < ε.

Def.2 (secondo Heine). Numero UNè detto limite della funzione y=f(x) nel punto UN, se per qualsiasi successione (x n )ε X, x n ≠a nN, convergente a UN, la sequenza dei valori della funzione (f(x n)) converge al numero UN.

Teorema. La determinazione del limite di una funzione secondo Cauchy e secondo Heine sono equivalenti.

Prova. Sia A=lim f(x) il limite di Cauchy della funzione y=f(x) e (x n ) X, x n a nN una successione convergente a UN, x nà UN.

Dato ε > 0, troviamo δ > 0 tale che a 0< |x-UN| < δ, xX имеем |f(x) – UN| < ε, а по этому δ найдем номер n δ =n(δ) такой, что при n>nδ abbiamo 0< |x n -UN| < δ

Ma allora |f(x n) – UN| < ε, т.е. доказано, что f(x n)à UN.

Diamo ora il numero UN ora secondo Heine esiste un limite della funzione, ma UN non è un limite di Cauchy. Allora esiste ε o > 0 tale che per ogni nN esistono x nX, 0< |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= εo. Ciò significa che è stata trovata la successione (x n ) X, x n ≠a nN, x n à UN tale che la successione (f(x n)) non converge UN.

Significato geometrico del limitelimF(X) La funzione nel punto x 0 è la seguente: se gli argomenti x vengono presi nell'intorno ε del punto x 0, i valori corrispondenti rimarranno nell'intorno ε del punto.

Le funzioni possono essere specificate su intervalli adiacenti al punto x0 mediante formule diverse o non definite su uno degli intervalli. Per studiare il comportamento di tali funzioni è conveniente il concetto di limite destrorso e sinistrorso.

Sia definita la funzione f sull'intervallo (a, x0). Viene chiamato il numero A limite funzioni f Sinistra

nel punto x0 if0 0 x (a, x0) , x0 - x x0: | f(x) - A |

Il limite della funzione f a destra nel punto x0 è determinato in modo simile.

Le funzioni infinitesime hanno le seguenti proprietà:

1) La somma algebrica di qualsiasi numero finito di funzioni infinitesime in un punto è una funzione che è infinitesima nello stesso punto.

2) Il prodotto di qualsiasi numero finito di funzioni infinitesime in un punto è una funzione che è infinitesima nello stesso punto.

3) Il prodotto di una funzione che è infinitesima in un punto e di una funzione che è limitata è una funzione che è infinitesima nello stesso punto.

Vengono chiamate le funzioni a (x) e b (x) infinitesima in un punto x0 infinitesimi dello stesso ordine,

La violazione delle restrizioni imposte alle funzioni nel calcolo dei loro limiti porta a incertezze

Le tecniche elementari per rivelare le incertezze sono:

riduzione dovuta ad un fattore che crea incertezza

dividendo il numeratore e il denominatore per la potenza più alta dell'argomento (per il rapporto tra i polinomi a)

applicazione di infinitesimi equivalenti e infinitesimi

utilizzando due grandi limiti:

Il primo meraviglioso l

Secondo meraviglioso limite

Vengono chiamate le funzioni f(x) e g(x). equivalente come x→ a, se f(x): f(x) = f (x)g(x), dove limx→ af (x) = 1.

In altre parole, le funzioni sono equivalenti come x→ a se il limite del loro rapporto come x→ a è uguale a uno. Sono valide le seguenti relazioni; vengono anche chiamate uguaglianze asintotiche:

peccato x ~ x, x → 0

tg x ~ x, x → 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x~ x, x ® 0

e x -1~ x, x→ 0

ln (1+x)~ x, x→ 0

m -1~ mx, x→ 0

Continuità della funzione. Continuità delle funzioni elementari. Operazioni aritmetiche su funzioni continue. Continuità di una funzione complessa. Formulazione dei teoremi di Bolzano-Cauchy e Weierstrass.

Funzioni discontinue. Classificazione dei punti di interruzione. Esempi.

Viene chiamata la funzione f(x). continuo al punto a, se

" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a)) Ì U(f(a))).

Continuità di una funzione complessa

Teorema 2. Se la funzione u(x) è continua nel punto x0, e la funzione f(u) è continua nel punto corrispondente u0 = f(x0), allora la funzione complessa f(u(x)) è continua nel punto x0.

La dimostrazione è data nel libro di I.M. Petrushko e L.A. Kuznetsova “Corso di matematica superiore: introduzione all'analisi matematica. Calcolo differenziale." M.: Casa editrice MPEI, 2000. Pp. 59.

Tutte le funzioni elementari sono continue in ogni punto del loro dominio di definizione.

Teorema Weierstrass

Sia f una funzione continua definita sul segmento. Allora per ogni esiste un polinomio p a coefficienti reali tale che per ogni x dalla condizione

Teorema di Bolzano-Cauchy

Diamo una funzione continua sull'intervallo Lasciamo anche e senza perdita di generalità assumiamo che Allora per ogni esiste tale che f(c) = C.

Punto di rottura- il valore dell'argomento in cui viene violata la continuità della funzione (vedi Funzione continua). Nei casi più semplici, ad un certo punto si verifica una violazione della continuità in modo tale che ci siano dei limiti

poiché x tende ad a da destra e da sinistra, ma almeno uno di questi limiti è diverso da f (a). In questo caso viene chiamato a Punto di discontinuità di 1° specie. Se f (a + 0) = f (a -0), allora la discontinuità si dice rimovibile, poiché la funzione f (x) diventa continua nel punto a se poniamo f (a)= f(a+0) =f(a-0).

Funzioni discontinue, funzioni che presentano una discontinuità in alcuni punti (vedi Punto di discontinuità). Tipicamente, le funzioni incontrate in matematica hanno punti di interruzione isolati, ma ci sono funzioni per le quali tutti i punti sono punti di interruzione, ad esempio la funzione Dirichlet: f (x) = 0 se x è razionale e f (x) = 1 se x è irrazionale. Il limite di una successione ovunque convergente di funzioni continue può essere un Rf. Tale R. f. sono dette funzioni della prima classe secondo Baire.

Derivato, suo significato geometrico e fisico. Regole di derivazione (derivata di una somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivata di una funzione complessa).

Derivata delle funzioni trigonometriche.

Derivata della funzione inversa. Derivata delle funzioni trigonometriche inverse.

Derivata di una funzione logaritmica.

Il concetto di differenziazione logaritmica. Derivata di una funzione esponenziale potenza. Derivata di una funzione di potenza. Derivata di una funzione esponenziale. Derivata delle funzioni iperboliche.

Derivata di una funzione definita parametricamente.

Derivata di una funzione implicita.

Derivato la funzione f(x) (f"(x0)) nel punto x0 è il numero a cui il rapporto di differenza tende a zero.

Significato geometrico della derivata. La derivata nel punto x0 è uguale alla pendenza della tangente al grafico della funzione y=f(x) in questo punto.

Equazione della tangente al grafico della funzione y=f(x) nel punto x0:

Significato fisico del derivato.

Se un punto si muove lungo l'asse x e le sue coordinate cambiano secondo la legge x(t), allora la velocità istantanea del punto è:

Differenziazione logaritmica

Se hai bisogno di trovare da un'equazione, puoi:

a) logaritmo di entrambi i lati dell'equazione

b) differenziare entrambi i membri dell'uguaglianza risultante, dove esiste una funzione complessa di x,

.

c) sostituirlo con un'espressione in termini di x

Differenziazione delle funzioni implicite

Lascia che l'equazione definisca una funzione implicita di x.

a) differenziando entrambi i membri dell'equazione rispetto a x, otteniamo un'equazione di primo grado rispetto a;

b) dall'equazione risultante esprimiamo .

Differenziazione di funzioni specificate parametricamente

Sia la funzione data da equazioni parametriche,

Allora, o

Differenziale. Significato geometrico del differenziale. Applicazione del differenziale nei calcoli approssimati. Invarianza della forma del primo differenziale. Criterio di differenziabilità di una funzione.

Derivati ​​e differenziali di ordine superiore.

Differenziale(dal latino differentia - differenza, differenza) in matematica, la parte lineare principale dell'incremento di una funzione. Se la funzione y = f (x) di una variabile x ha una derivata in x = x0, allora l'incremento Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) della funzione f (x) può essere rappresentato come Dy = f" (x0) Dx + R,

dove il termine R è infinitesimo rispetto a Dx. Il primo termine dy = f" (x0) Dx in questa espansione è chiamato differenziale della funzione f (x) nel punto x0.

DIFFERENZIALI DI ORDINE SUPERIORE

Consideriamo una funzione y=f(x), dove x è una variabile indipendente. Allora il differenziale di questa funzione dy=f"(x)dx dipende anche dalla variabile x, e solo il primo fattore f"(x) dipende da x, e dx=Δx non dipende da x (l'incremento ad un dato il punto x può essere scelto indipendentemente da questi punti). Considerando dy in funzione di x, possiamo trovare il differenziale di quella funzione.

Il differenziale del differenziale di una data funzione y=f(x) è chiamato differenziale del secondo o differenziale del secondo ordine di questa funzione ed è indicato con d 2 y: d(dy)=d 2 y.

Troviamo l'espressione per il secondo differenziale. Perché dx non dipende da x, quindi nel trovare la derivata può essere considerato costante, quindi

d 2 y = d(dy) = d = "dx = f ""(x)dx·dx = f ""(x)(dx) 2 .

È consuetudine scrivere (dx) 2 = dx 2. Quindi, d 2 y= f""(x)dx 2.

Allo stesso modo, il terzo differenziale o differenziale del terzo ordine di una funzione è il differenziale del suo secondo differenziale:

d 3 y=d(d 2 y)="dx=f """(x)dx 3 .

In generale, il differenziale di ordine n è il primo differenziale del differenziale di ordine (n – 1): d n (y)=d(d n -1y)d n y = f (n)(x)dx n

Pertanto, utilizzando differenziali di vario ordine, la derivata di qualsiasi ordine può essere rappresentata come un rapporto tra differenziali dell'ordine corrispondente:

APPLICAZIONE DEL DIFFERENZIALE A CALCOLI APPROSSIMATIVI

Conosciamo il valore della funzione y0=f(x0) e la sua derivata y0" = f "(x0) nel punto x0. Mostriamo come trovare il valore di una funzione in un punto vicino x.

Come abbiamo già scoperto, l'incremento della funzione Δy può essere rappresentato come la somma Δy=dy+α·Δx, cioè l'incremento di una funzione differisce dal differenziale di una quantità infinitesimale. Pertanto, trascurando il secondo termine nei calcoli approssimati per Δx piccoli, a volte viene utilizzata l'uguaglianza approssimata Δy≈dy o Δy≈f"(x0)·Δx.

Poiché, per definizione, Δy = f(x) – f(x0), allora f(x) – f(x0)≈f"(x0) Δx.

Quindi f(x) ≈ f(x0) + f"(x0) Δx

Forma invariante del primo differenziale.

Prova:

1)

Teoremi fondamentali sulle funzioni differenziabili. Relazione tra continuità e differenziabilità di una funzione. Il teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy e loro conseguenze. Significato geometrico dei teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange.

Vengono fornite le definizioni del limite di una funzione secondo Heine (tramite successioni) e secondo Cauchy (tramite intorni epsilon e delta). Vengono fornite le definizioni forma universale, applicabile sia per limiti bidirezionali che unidirezionali in punti finiti e infiniti. Si considera la definizione che il punto a non è limite di una funzione. Dimostrazione dell'equivalenza delle definizioni di Heine e Cauchy.

Contenuto

Guarda anche: Intorno di un punto
Determinazione del limite di una funzione in un punto finale
Determinazione del limite di una funzione all'infinito

Prima definizione di limite di una funzione (secondo Heine)

(X) al punto x 0 :
,
Se
1) esiste un intorno così forato del punto x 0
2) per qualsiasi sequenza (xn), convergente a x 0 :
, i cui elementi appartengono al quartiere,
sotto sequenza (f(xn)) converge a:
.

Qui x 0 e a può essere numeri finiti o punti all'infinito. Il quartiere può essere bilaterale o unilaterale.

.

Seconda definizione di limite di una funzione (secondo Cauchy)

Il numero a è chiamato limite della funzione f (X) al punto x 0 :
,
Se
1) esiste un intorno così forato del punto x 0 , su cui è definita la funzione;
2) per qualsiasi numero positivo ε > 0 esiste un tale numero δ ε > 0 , dipendente da ε, quello per tutti gli x appartenenti all'intorno δ ε perforato del punto x 0 :
,
valori della funzione f (X) appartengono all'intorno ε del punto a:
.

Punti x 0 e a può essere numeri finiti o punti all'infinito. Il quartiere può anche essere bilaterale o unilaterale.

Scriviamo questa definizione utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità:
.

Questa definizione utilizza quartieri con estremità equidistanti. Una definizione equivalente può essere data utilizzando intorni arbitrari di punti.

Definizione utilizzando intorni arbitrari
Il numero a è chiamato limite della funzione f (X) al punto x 0 :
,
Se
1) esiste un intorno così forato del punto x 0 , su cui è definita la funzione;
2) per qualsiasi quartiere U (UN) del punto a esiste un intorno perforato del punto x 0 quello per tutti gli x appartenenti all'intorno forato del punto x 0 :
,
valori della funzione f (X) appartengono al quartiere U (UN) punti a:
.

Utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, questa definizione può essere scritta come segue:
.

Limiti unilaterali e bilaterali

Le definizioni di cui sopra sono universali nel senso che possono essere utilizzate per qualsiasi tipo di quartiere. Se utilizziamo come intorno forato del lato sinistro il punto finale, otteniamo la definizione di limite del lato sinistro. Se utilizziamo come intorno l'intorno di un punto all'infinito, otteniamo la definizione di limite all'infinito.

Per determinare il limite di Heine, ciò si riduce al fatto che si impone un'ulteriore restrizione su una sequenza arbitraria convergente a: i suoi elementi devono appartenere al corrispondente intorno forato del punto .

Per determinare il limite di Cauchy è necessario in ogni caso trasformare le espressioni e in disuguaglianze, utilizzando le opportune definizioni dell'intorno di un punto.
Vedi "Intorno di un punto".

Determinare che il punto a non è il limite di una funzione

Spesso diventa necessario utilizzare la condizione che il punto a non sia il limite della funzione in . Costruiamo le negazioni delle definizioni di cui sopra. In essi assumiamo che la funzione f (X)è definito su un intorno forato del punto x 0 . Punti a e x 0 possono essere numeri finiti o infinitamente distanti. Tutto quanto riportato di seguito vale sia per i limiti bilaterali che per quelli unilaterali.

Secondo Heine.
Numero a non è limite della funzione f (X) al punto x 0 : ,
se esiste una tale sequenza (xn), convergente a x 0 :
,
i cui elementi appartengono al quartiere,
qual è la sequenza (f(xn)) non converge a a:
.
.

Secondo Cauchy.
Numero a non è limite della funzione f (X) al punto x 0 :
,
se esiste un numero così positivo ε > 0 , quindi per qualsiasi numero positivo δ > 0 , esiste una x che appartiene al quartiere δ perforato del punto x 0 :
,
che il valore della funzione f (X) non appartiene all'ε-intorno del punto a:
.
.

Naturalmente, se il punto a non è limite di una funzione in , ciò non significa che essa non possa avere limite. Potrebbe esserci un limite, ma non è uguale a a. È anche possibile che la funzione sia definita in un intorno forato del punto , ma non abbia limiti in .

Funzione f(x) = peccato(1/x) non ha limiti per x → 0.

Ad esempio, una funzione è definita in , ma non esiste alcun limite. Per dimostrarlo, prendiamo la sequenza . Converge in un punto 0 : . Perché allora .
Prendiamo la sequenza. Converge anche al punto 0 : . Ma da allora.
Allora il limite non può essere uguale a nessun numero a. Infatti, per , esiste una sequenza con la quale . Pertanto, qualsiasi numero diverso da zero non è un limite. Ma non è nemmeno un limite, poiché esiste una sequenza con cui .

Equivalenza delle definizioni di Heine e Cauchy del limite

Teorema
Le definizioni di Heine e Cauchy del limite di una funzione sono equivalenti.

Prova

Nella dimostrazione, assumiamo che la funzione sia definita in un intorno forato di un punto (finito o all'infinito). Il punto a può anche essere finito o all'infinito.

Dimostrazione di Heine ⇒ Dimostrazione di Cauchy

Sia la funzione ad avere limite a in un punto secondo la prima definizione (secondo Heine). Cioè per qualsiasi successione appartenente a un intorno punteggiato di un punto e avente un limite
(1) ,
il limite della sequenza è a:
(2) .

Mostriamo che la funzione ha limite di Cauchy in un punto. Cioè, per tutti c'è qualcosa che è per tutti.

Supponiamo il contrario. Siano soddisfatte le condizioni (1) e (2), ma la funzione non ha limite di Cauchy. Cioè c'è qualcosa che esiste per chiunque, quindi
.

Prendiamo , dove n è un numero naturale. Allora esiste , e
.
Abbiamo quindi costruito una successione convergente a , ma il limite della successione non è uguale ad a . Ciò contraddice le condizioni del teorema.

La prima parte è stata dimostrata.

Dimostrazione di Cauchy ⇒ Dimostrazione di Heine

Sia la funzione ad avere limite a in un punto secondo la seconda definizione (secondo Cauchy). Cioè, per chiunque esiste quello
(3) per tutti .

Mostriamo che la funzione ha limite a in un punto secondo Heine.
Prendiamo un numero arbitrario. Secondo la definizione di Cauchy, il numero esiste, quindi vale la (3).

Prendiamo una sequenza arbitraria appartenente all'intorno forato e convergente a . Per definizione di sequenza convergente, per qualsiasi esiste quella
A .
Quindi da (3) segue che
A .
Visto che questo vale per chiunque, allora
.

Il teorema è stato dimostrato.

Riferimenti:
L.D. Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.

Guarda anche:

Viene data la definizione di limite finito di una successione. Vengono discusse le proprietà correlate e la definizione equivalente. Si dà la definizione che il punto a non è il limite della successione. Vengono considerati esempi in cui l'esistenza di un limite è dimostrata utilizzando la definizione.

Contenuto

Guarda anche: Limite di successione – teoremi fondamentali e proprietà
Principali tipi di diseguaglianze e loro proprietà

Qui vedremo la definizione di limite finito di una successione. Il caso di una successione convergente all'infinito è discusso nella pagina “Definizione di una successione infinitamente grande”.

Il limite di una sequenza è un numero a se, per ogni numero positivo ε > 0 esiste un numero naturale N ε dipendente da ε tale che per tutti i numeri naturali n > N ε la disuguaglianza
| xn - un|< ε .
Qui x n è l'elemento della sequenza con il numero n. Limite di sequenza indicato come segue:
.
O a .

Trasformiamo la disuguaglianza:
;
;
.

ε - un intorno di un punto a - è un intervallo aperto (a - ε, a + ε). Una successione convergente è una successione che ha un limite. Si dice anche che la sequenza converge ad a. Una sequenza divergente è una sequenza che non ha limiti.

Dalla definizione segue che se una sequenza ha un limite a, allora non importa quale ε-intorno del punto a scegliamo, oltre i suoi limiti può esserci solo un numero finito di elementi della sequenza, o nessuno (un numero vuoto impostato). E ogni quartiere ε contiene un numero infinito di elementi. Infatti, dato un certo numero ε, abbiamo quindi il numero . Quindi tutti gli elementi della sequenza con numeri , per definizione, si trovano nell'intorno ε del punto a . I primi elementi possono essere posizionati ovunque. Cioè, al di fuori del quartiere ε non possono esserci più di elementi, cioè un numero finito.

Notiamo anche che la differenza non deve tendere monotonicamente a zero, cioè diminuire continuamente. Può tendere a zero in modo non monotono: può aumentare o diminuire, avendo massimi locali. Tuttavia questi massimi, al crescere di n, dovrebbero tendere a zero (possibilmente anche in modo non monotono).

Utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, la definizione di limite può essere scritta come segue:
(1) .

Determinare che a non è un limite

Consideriamo ora l'affermazione inversa secondo cui il numero a non è il limite della sequenza.

Numero a non è il limite della sequenza, se esiste tale che per ogni numero naturale n esiste un tale m naturale >n, Che cosa
.

Scriviamo questa affermazione utilizzando simboli logici.
(2) .

Dichiaralo il numero a non è il limite della sequenza, significa che
puoi scegliere un tale ε - intorno del punto a, al di fuori del quale ci sarà un numero infinito di elementi della sequenza.

Diamo un'occhiata a un esempio. Sia data una successione con un elemento comune
(3)
Ogni intorno di un punto contiene un numero infinito di elementi. Tuttavia questo punto non è il limite della sequenza, poiché ogni intorno del punto contiene anche un numero infinito di elementi. Prendiamo ε - un intorno di un punto con ε = 1 . Questo sarà l'intervallo (-1, +1) . Tutti gli elementi tranne il primo con n pari appartengono a questo intervallo. Ma tutti gli elementi con n dispari sono al di fuori di questo intervallo, poiché soddisfano la disuguaglianza x n > 2 . Poiché il numero di elementi dispari è infinito, ci sarà un numero infinito di elementi al di fuori dell'intorno scelto. Pertanto il punto non è il limite della sequenza.

Ora lo mostreremo, attenendoci rigorosamente all'affermazione (2). Il punto non è un limite della successione (3), poiché esiste tale che, per ogni n naturale, ce n'è uno dispari per il quale vale la disuguaglianza
.

Si può anche dimostrare che qualsiasi punto a non può essere limite di questa successione. Possiamo sempre scegliere un ε - intorno del punto a che non contenga né il punto 0 né il punto 2. E quindi al di fuori dell'intorno scelto ci saranno un numero infinito di elementi della sequenza.

Definizione equivalente di limite di sequenza

Possiamo dare una definizione equivalente del limite di una successione se espandiamo il concetto di ε - intorno. Otterremo una definizione equivalente se, invece di un ε-intorno, contiene un qualsiasi intorno del punto a. Un intorno di un punto è qualsiasi intervallo aperto che contiene quel punto. Matematicamente intorno di un puntoè definito come segue: , dove ε 1 ed ε 2 - numeri positivi arbitrari.

Allora la definizione equivalente di limite è la seguente.

Il limite di una successione è un numero a se per ogni suo intorno esiste un numero naturale N tale che tutti gli elementi della successione con numeri appartengono a questo intorno.

Questa definizione può essere presentata anche in forma estesa.

Il limite di una sequenza è un numero a se per qualsiasi numero positivo ed esiste un numero naturale N dipendente da e tale che le disuguaglianze valgano per tutti i numeri naturali
.

Prova dell'equivalenza delle definizioni

Dimostriamo che le due definizioni di limite di una successione presentate sopra sono equivalenti.

Sia il numero a il limite della successione secondo la prima definizione. Ciò significa che esiste una funzione tale che per ogni numero positivo ε sono soddisfatte le seguenti disuguaglianze:
(4) A .

Mostriamo che il numero a è il limite della successione secondo la seconda definizione. Cioè dobbiamo dimostrare che esiste una funzione tale che per ogni numero positivo ε 1 ed ε 2 sono soddisfatte le seguenti disuguaglianze:
(5) A .

Prendiamo due numeri positivi: ε 1 ed ε 2 . E sia ε il più piccolo di essi: . Poi ; ; . Usiamolo in (5):
.
Ma le disuguaglianze sono soddisfatte per . Allora sono soddisfatte anche le disuguaglianze (5) per .

Cioè, abbiamo trovato una funzione per la quale le disuguaglianze (5) sono soddisfatte per qualsiasi numero positivo ε 1 ed ε 2 .
La prima parte è stata dimostrata.

Sia ora il numero a il limite della successione secondo la seconda definizione. Ciò significa che esiste una funzione tale che per ogni numero positivo ε 1 ed ε 2 sono soddisfatte le seguenti disuguaglianze:
(5) A .

Mostriamo che il numero a è il limite della successione secondo la prima definizione. Per fare questo devi mettere . Allora quando valgono le seguenti disuguaglianze:
.
Ciò corrisponde alla prima definizione con .
L'equivalenza delle definizioni è stata dimostrata.

Esempi

Esempio 1

Prova che .

(1) .
Nel nostro caso ;
.

.
Usiamo le proprietà delle disuguaglianze. Quindi se e , allora
.

.
Poi
A .
Ciò significa che il numero è il limite della sequenza data:
.

Esempio 2

Utilizzando la definizione di limite di una successione, dimostralo
.

Scriviamo la definizione di limite di una successione:
(1) .
Nel nostro caso , ;
.

Inserisci numeri positivi e:
.
Usiamo le proprietà delle disuguaglianze. Quindi se e , allora
.

Cioè, per ogni positivo, possiamo prendere qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a:
.
Poi
A .
.

Esempio 3

.

Introduciamo la notazione , .
Trasformiamo la differenza:
.
Per naturale n = 1, 2, 3, ... abbiamo:
.

Scriviamo la definizione di limite di una successione:
(1) .
Inserisci numeri positivi e:
.
Quindi se e , allora
.

Cioè, per ogni positivo, possiamo prendere qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a:
.
In cui
A .
Ciò significa che il numero è il limite della sequenza:
.

Esempio 4

Utilizzando la definizione di limite di una successione, dimostralo
.

Scriviamo la definizione di limite di una successione:
(1) .
Nel nostro caso , ;
.

Inserisci numeri positivi e:
.
Quindi se e , allora
.

Cioè, per ogni positivo, possiamo prendere qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a:
.
Poi
A .
Ciò significa che il numero è il limite della sequenza:
.

Riferimenti:
L.D. Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.
CM. Nikolsky. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.

Guarda anche: