introduzione

Trovare la derivata f" (x) o il differenziale df=f" (x) dx della funzione f(x) è il problema principale del calcolo differenziale. Nel calcolo integrale si risolve il problema inverso: data una funzione f(x), occorre trovare una funzione F(x) tale che F" (x)=f(x) oppure F(x)=F" ( x) dx=f(x )dx. Pertanto, il compito principale del calcolo integrale è ripristinare la funzione F(x) dalla derivata nota (differenziale) di questa funzione. Il calcolo integrale ha numerose applicazioni in geometria, meccanica, fisica e tecnologia. Fornisce un metodo generale per trovare aree, volumi, centri di gravità, ecc.

BENE analisi matematica contiene una varietà di materiale, tuttavia, una delle sue sezioni centrali è l'integrale definito. L'integrazione di molti tipi di funzioni è talvolta uno dei problemi più difficili nell'analisi matematica.

Il calcolo dell'integrale definito non è solo di interesse teorico. A volte problemi legati a attività pratiche persona.

Inoltre, il concetto di integrale definito è ampiamente utilizzato in fisica.

Trovare l'area di un trapezio curvo

Un trapezio curvo è una figura situata in un sistema di coordinate rettangolare e limitata dall'asse x e dalle linee rette. x = a E x = b e una curva ed è non negativo sul segmento. L'area approssimativa di un trapezio curvo può essere trovata come segue:

1. dividere il segmento dell'asse x in N segmenti uguali;

2. tracciare dei segmenti perpendicolari all'asse delle ascisse attraverso i punti di divisione fino ad intersecarsi con la curva;

3. sostituire le colonne risultanti con rettangoli con base e altezza pari al valore della funzione F all'estremità sinistra di ciascun segmento;

4. trova la somma delle aree di questi rettangoli.

Ma puoi trovare l'area curvilinea in modo diverso: usando la formula di Newton-Leibniz. Per dimostrare la formula che porta i loro nomi, dimostriamo che l'area di un trapezio curvilineo è uguale a, dov'è una qualsiasi delle antiderivative della funzione il cui grafico delimita il trapezio curvilineo.

Il calcolo dell'area di un trapezio curvilineo è scritto come segue:

1. viene trovato uno qualsiasi degli antiderivativi della funzione.

2. viene registrato. - Questa è la formula di Newton-Leibniz.

Trovare l'area di un settore curvo

Diamo un'occhiata alla curva? = ? (?) nel sistema di coordinate polari, dove? (?) - continuo e non negativo su [?; ?] funzione. Una figura delimitata da una curva? (?) e raggi? =?, ? = ?, si chiama settore curvilineo. L'area del settore curvilineo è pari a

Trovare la lunghezza dell'arco di una curva

Coordinate rettangolari

Sia data una curva piana AB in coordinate rettangolari, la cui equazione è y = f(x), dove a? X? B. (Figura 2)

Per lunghezza dell'arco AB si intende il limite al quale tende la lunghezza di una linea spezzata inscritta in tale arco quando il numero di maglie della linea spezzata aumenta indefinitamente, e la lunghezza della sua maglia maggiore tende a zero.

Applichiamo lo schema I (metodo della somma).

Utilizzando i punti X = a, X, …, X = b (X ? X? … ? X) dividiamo il segmento in n parti. Lasciamo che questi punti corrispondano ai punti M = A, M, …, M = B sulla curva AB. Disegniamo gli accordi MM, MM, …, MM, le cui lunghezze saranno indicate rispettivamente con ?L, ?L, …, ?L.

Otteniamo una linea spezzata MMM ... MM, la cui lunghezza è pari a L = ?L+ ?L+ ... + ?L = ?L.

La lunghezza di una corda (o di una linea spezzata) ?L può essere trovata utilizzando il teorema di Pitagora da un triangolo con i cateti ?X e ?Y:

L = , dove?X = X - X, ?Y = f(X) - f(X).

Per il teorema di Lagrange sull'incremento finito di una funzione

Y = (C) ?X, dove C (X, X).

e la lunghezza dell'intera linea spezzata MMM...MM è uguale a

La lunghezza della curva AB, per definizione, è uguale a

Da notare che quando ?L 0 anche ?X 0 (?L = e quindi | ?X |< ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:

Quindi L = dx.

Esempio: Trova la circonferenza di un cerchio di raggio R. (Figura 3)

Lo troveremo? parte della sua lunghezza dal punto (0; R) al punto (R; 0). Perché

Questo termine ha altri significati, vedi Trapezio (significati). Trapezio (da altro greco τραπέζιον “tavolo”; ... Wikipedia

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Metodi per ottenere soluzioni numeriche a vari problemi costruzioni grafiche. G.v. (moltiplicazione grafica, soluzione grafica di equazioni, integrazione grafica, ecc.) rappresentano un sistema di costruzioni che ripetono o sostituiscono... ... Grande Enciclopedia Sovietica

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Il teorema di Green stabilisce una connessione tra un integrale curvilineo su un contorno chiuso C e un integrale doppio su una regione D delimitata da questo contorno. In effetti, questo teorema è un caso speciale del più generale teorema di Stokes. Il teorema è nominato in ... Wikipedia

Indietro avanti

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Parole chiave: trapezio integrale, curvilineo, area di figure delimitate da gigli

Attrezzatura: lavagna luminosa, computer, proiettore multimediale

Tipo di lezione: lezione-lezione

Obiettivi della lezione:

• educativo: formare una cultura del lavoro mentale, creare una situazione di successo per ogni studente e creare una motivazione positiva per l'apprendimento; sviluppare la capacità di parlare e ascoltare gli altri.
• sviluppando: formazione del pensiero indipendente dello studente nell'applicare la conoscenza in varie situazioni, capacità di analizzare e trarre conclusioni, sviluppo della logica, sviluppo della capacità di porre correttamente domande e trovare risposte. Migliorare la formazione di abilità computazionali, sviluppare il pensiero degli studenti nel corso del completamento dei compiti proposti, sviluppare una cultura algoritmica.
• educativo: formare concetti su un trapezio curvilineo, su un integrale, padroneggiare le capacità di calcolo delle aree delle figure piane

Metodo d'insegnamento: esplicativo e illustrativo.

Durante le lezioni

Nelle lezioni precedenti abbiamo imparato a calcolare le aree delle figure i cui confini sono linee poligonali. In matematica esistono metodi che consentono di calcolare le aree delle figure delimitate da curve. Tali figure sono chiamate trapezi curvilinei e la loro area viene calcolata utilizzando gli antiderivativi.

Trapezio curvilineo ( diapositiva 1)

Un trapezio curvo è una figura delimitata dal grafico di una funzione, ( sh.m.), Dritto x = a E x = b e l'asse x

Vari tipi di trapezi curvi ( diapositiva 2)

Stiamo considerando diversi tipi trapezi curvilinei e nota: una delle linee degenera in un punto, il ruolo della funzione limitante è svolto dalla linea

Area di un trapezio curvo (diapositiva 3)

Fissiamo l'estremità sinistra dell'intervallo UN, e quello giusto X cambieremo, cioè spostiamo la parete destra del trapezio curvilineo e otteniamo una figura che cambia. L'area di un trapezio curvilineo variabile delimitata dal grafico della funzione è un'antiderivativa F per funzione F

E sul segmento [ UN; B] area di un trapezio curvilineo formato dalla funzione F,è uguale all'incremento dell'antiderivativa di questa funzione:

Esercizio 1:

Trova l'area di un trapezio curvilineo delimitato dal grafico della funzione: f(x) = x2 e dritto y = 0, x = 1, x = 2.

Soluzione: ( secondo l'algoritmo slide 3)

Disegniamo un grafico della funzione e delle linee

Troviamo una delle antiderivative della funzione f(x) = x2 :

Autotest della diapositiva

Integrante

Consideriamo un trapezio curvilineo definito dalla funzione F sul segmento [ UN; B]. Suddividiamo questo segmento in più parti. L'area dell'intero trapezio verrà divisa nella somma delle aree dei trapezi curvi più piccoli. ( diapositiva 5). Ciascuno di questi trapezi può essere approssimativamente considerato un rettangolo. La somma delle aree di questi rettangoli dà un'idea approssimativa dell'intera area del trapezio curvo. Quanto più piccolo dividiamo il segmento [ UN; B], più accuratamente calcoliamo l'area.

Scriviamo questi argomenti sotto forma di formule.

Dividere il segmento [ UN; B] in n parti per punti x0 =a,x1,…,xn = b. Lunghezza K- th denotare con xk = xk – xk-1. Facciamo un bilancio

Dal punto di vista geometrico, questa somma rappresenta l'area della figura ombreggiata in figura ( sh.m.)

Le somme della forma sono chiamate somme intere della funzione F. (sh.m.)

Le somme integrali danno un valore approssimativo dell'area. Il valore esatto si ottiene passando al limite. Immaginiamo di perfezionare la partizione del segmento [ UN; B] in modo che le lunghezze di tutti i segmenti piccoli tendano a zero. Quindi l'area della figura composta si avvicinerà all'area del trapezio curvo. Possiamo dire che l'area di un trapezio curvo è uguale al limite delle somme integrali, Sc.t. (sh.m.) o integrale, cioè

Definizione:

Integrale di una funzione f(x) da UN Prima B detto limite delle somme intere

= (sh.m.)

Formula di Newton-Leibniz.

Ricordiamo che il limite delle somme integrali è pari all'area di un trapezio curvilineo, ciò significa che possiamo scrivere:

Sc.t. = (sh.m.)

D'altra parte, l'area di un trapezio curvo viene calcolata dalla formula

S k.t. (sh.m.)

Confrontando queste formule, otteniamo:

Questa uguaglianza è chiamata formula di Newton-Leibniz.

Per comodità di calcolo la formula si scrive così:

Compiti: (sh.m.)

1. Calcola l'integrale utilizzando la formula di Newton-Leibniz: ( controlla nella diapositiva 5)

2. Comporre gli integrali secondo il disegno ( controllare la diapositiva 6)

3. Trova l'area della figura delimitata dalle linee: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositiva 7)

Trovare le aree delle figure piane ( diapositiva 8)

Come trovare l'area delle figure che non sono trapezi curvi?

Siano date due funzioni, i cui grafici vedi nella diapositiva . (sh.m.) Trova l'area della figura ombreggiata . (sh.m.). La figura in questione è un trapezio curvo? Come puoi trovare la sua area utilizzando la proprietà di additività dell'area? Consideriamo due trapezi curvi e sottraiamo l'area dell'altro dall'area di uno di essi ( sh.m.)

Creiamo un algoritmo per trovare l'area utilizzando l'animazione su una diapositiva:

1. Funzioni grafiche
2. Proietta i punti di intersezione dei grafici sull'asse x
3. Ombreggia la figura ottenuta quando i grafici si intersecano
4. Trova trapezi curvilinei la cui intersezione o unione è la figura data.
5. Calcola l'area di ciascuno di essi
6. Trova la differenza o la somma delle aree

Compito orale: come ottenere l'area di una figura ombreggiata (raccontare utilizzando l'animazione, diapositive 8 e 9)

Compiti a casa: Analizza le note, N. 353 (a), N. 364 (a).

Bibliografia

1. Algebra e gli inizi dell'analisi: un libro di testo per le classi 9-11 della scuola serale (turno) / ed. G.D. Glaser. - M: Illuminismo, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra e inizi dell'analisi: un libro di testo per 10-11 classi di scuola secondaria / Bashmakov M.I. - M: Illuminismo, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematica: libro di testo per le istituzioni a partire. e mercoledì prof. istruzione / M.I. Bashmakov. - M: Accademia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra e inizi di analisi: libro di testo per le classi 10-11. istituzioni educative / A.N. - M: Istruzione, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Come fare una presentazione per una lezione?/ S.L. Ostrovskij. – M.: 1 settembre 2010.

Consideriamo un trapezio curvo delimitato dall'asse Ox, dalla curva y=f(x) e da due rette: x=ae x=b (Fig. 85). Prendiamo un valore arbitrario di x (semplicemente non a e non b). Diamogli un incremento h = dx e consideriamo una striscia delimitata dalle rette AB e CD, dall'asse Ox e dall'arco BD appartenenti alla curva in esame. Chiameremo questa striscia una striscia elementare. L'area di una striscia elementare differisce dall'area del rettangolo ACQB per il triangolo curvilineo BQD, e l'area di quest'ultimo è inferiore all'area del rettangolo BQDM con lati BQ = =h= dx) QD=Ay e area pari a hAy = Ay dx. Al diminuire del lato h diminuisce anche il lato Du e contemporaneamente ad h tende a zero. Pertanto l’area del BQDM è infinitesimale del secondo ordine. L'area di una striscia elementare è l'incremento dell'area, e l'area del rettangolo ACQB, pari a AB-AC ==/(x) dx> è il differenziale dell'area. Di conseguenza, troviamo l'area stessa integrando il suo differenziale. All'interno della figura in esame, la variabile indipendente l: cambia da a a b, per cui l'area richiesta 5 sarà pari a 5= \f(x) dx. (I) Esempio 1. Calcoliamo l'area delimitata dalla parabola y - 1 -x*, dalle rette X =--Fj-, x = 1 e dall'asse O* (Fig. 86). alla fig. 87. Figura. 86. 1 Qui f(x) = 1 - l?, i limiti di integrazione sono a = - e £ = 1, quindi J [*-t]\- -fl -- Ã -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Esempio 2. Calcoliamo l'area delimitata dalla sinusoide y = sinXy, dall'asse Ox e dalla retta (Fig. 87). Applicando la formula (I), otteniamo A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Esempio 3. Calcola l'area delimitata dall'arco della sinusoide ^у = sin jc, racchiusa tra due punti di intersezione adiacenti con l'asse Ox (ad esempio tra l'origine e il punto con l'ascissa i). Si noti che da considerazioni geometriche è chiaro che quest'area sarà doppia più area esempio precedente. Facciamo però i calcoli: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o In effetti, la nostra ipotesi si è rivelata corretta. Esempio 4. Calcola l'area delimitata dalla sinusoide e dall'asse Ox in un periodo (Fig. 88). I calcoli preliminari suggeriscono che l’area sarà quattro volte più grande rispetto all’Esempio 2. Tuttavia, dopo aver effettuato i calcoli, otteniamo “i Ã,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Questo risultato richiede un chiarimento. Per chiarire l'essenza della questione, calcoliamo anche l'area limitata dalla stessa sinusoide y = sin l: e l'asse Ox nell'intervallo da l a 2i. Applicando la formula (I), otteniamo 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Pertanto, vediamo che quest'area si è rivelata negativa. Confrontandola con l'area calcolata nell'esercizio 3, troviamo che i loro valori assoluti sono gli stessi, ma i segni sono diversi. Se applichiamo la proprietà V (vedi Capitolo XI, § 4), otteniamo 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Ciò che è accaduto in questo esempio non è un incidente. Sempre l'area situata sotto l'asse Ox, a condizione che la variabile indipendente cambi da sinistra a destra, si ottiene quando si calcola utilizzando gli integrali. In questo corso considereremo sempre le aree prive di segnaletica. Pertanto, la risposta nell'esempio appena discusso sarà: l'area richiesta è 2 + |-2| = 4. Esempio 5. Calcoliamo l'area del BAB mostrato in Fig. 89. Quest'area è delimitata dall'asse del Bue, dalla parabola y = - xr e dalla retta y - = -x+\. Area di un trapezio curvilineo L'area richiesta OAB è composta da due parti: OAM e MAV. Poiché il punto A è il punto di intersezione di una parabola e di una retta, troveremo le sue coordinate risolvendo il sistema di equazioni 3 2 Y = mx. (bisogna trovare solo l'ascissa del punto A). Risolvendo il sistema troviamo l; =~. Pertanto l'area deve essere calcolata in parti, primo quadrato. OAM e poi pl. MAV: .... SOL 3 2, 3 SOL xP 3 1/2 U 2. QAM-^x funzione continua e non negativa F(X), ordinate disegnate nei punti UN E B e il segmento dell'asse Bue tra i punti UN E B(vedi Fig. 2).

Dimostriamo la seguente affermazione.

Un trapezio curvo è una figura quadrata, un'area P

Prova. Poiché continuo sul segmento [ UN, B] la funzione è integrabile, quindi per qualsiasi numero positivo ε è possibile specificare tale partizione T segmento [ UN, B], qual è la differenza S - S < ε , Dove S E S- rispettivamente la somma superiore e quella inferiore della ripartizione T. Ma S E S sono uguali rispettivamente S D E S io, Dove S D E S io- aree di figure a gradini (poligoni), la prima delle quali contiene un trapezio curvilineo, e la seconda è contenuta in un trapezio curvilineo (anche la Fig. 2 mostra queste figure a gradini). Perché S D - S io < ε , allora, in virtù del Teorema 1, il trapezio curvilineo è squadrabile. Poiché il limite per Δ → 0 delle somme superiore e inferiore è uguale a S ≤ P ≤ S, poi la zona P il trapezio curvilineo può essere trovato utilizzando la formula (1).

Commento. Se la funzione F(X) è continua e non positiva sul segmento [ UN, B], allora il valore dell'integrale è pari all'area del trapezio curvilineo preso con segno negativo, limitata dal grafico della funzione F(X), ordinate nei punti UN E B e un segmento dell'asse Bue tra i punti UN E B. Pertanto, se F(X) cambia segno, allora è uguale alla somma delle aree dei trapezi curvilinei posti sopra e sotto l'asse preso con un certo segno Bue, e le aree dei primi si prendono con il segno +, e dei secondi con il segno -.

Area di un settore curvo

Lasciamo la curva lè dato nel sistema di coordinate polari dall'equazione R = R(θ ), α ≤ θ ≤ β (vedi Fig. 3) e la funzione R(θ ) è continua e non negativa sul segmento [ α , β ]. Una figura piatta delimitata da una curva l e due raggi che formano angoli con l'asse polare α E β , chiameremo settore curvilineo.

Dimostriamo la seguente affermazione. Un settore curvilineo è una figura quadrata, un'area P che può essere calcolato utilizzando la formula

Prova. Considera la partizione T segmento [ α , β ] punti α = θ 0 < θ 1 < ... < θ N = β e per ogni segmento parziale [ θ io -1 , θ io] costruiscono settori circolari i cui raggi sono uguali al minimo R io e massimo R io valori R(θ ) sul segmento [ θ io -1 , θ io]. Di conseguenza, otteniamo due figure a ventaglio, la prima delle quali è contenuta nel settore curvilineo, e la seconda contiene il settore curvilineo (queste figure a ventaglio sono mostrate in Fig. 3). Le aree delle e delle figure a ventaglio indicate sono rispettivamente uguali a e. Si noti che la prima di queste somme è la somma inferiore S per una funzione per una partizione specificata T segmento [ α , β ], e la seconda somma è la somma più alta S per la stessa funzione e la stessa partizione. Poiché la funzione è integrabile sul segmento [ α , β ], la differenza può essere minima quanto desiderato. Ad esempio, per qualsiasi fisso ε > 0 questa differenza può essere ridotta ε /2. Inscriviamo ora un poligono nella figura interna a forma di ventaglio Q io con zona S io, per cui , e descriviamo un poligono attorno alla figura esterna a forma di ventaglio Q D la zona S D, per cui * . Ovviamente il primo di questi poligoni è inscritto in un settore curvilineo, ed il secondo è circoscritto ad esso. Poiché le disuguaglianze sono valide