Grafico x 0. Funzione potenza, sue proprietà e grafici. Metodo grafico per costruire una funzione

Nel dominio di definizione della funzione potenza y = x p valgono le seguenti formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietà delle funzioni potenza e loro grafici

Funzione di potenza con esponente pari a zero, p = 0

Se l'esponente della funzione potenza y = x p è uguale a zero, p = 0, allora la funzione potenza è definita per tutti gli x ≠ 0 ed è una costante uguale a uno:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funzione di potenza con esponente dispari naturale, p = n = 1, 3, 5, ...

Consideriamo una funzione di potenza y = x p = x n con esponente dispari naturale n = 1, 3, 5, ... . Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni.

Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale dispari at significati diversi esponente n = 1, 3, 5, ... .

Dominio: -∞ < x < ∞
Significati multipli: -∞ < y < ∞
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi: NO
Convesso:
a -∞< x < 0 выпукла вверх
a 0< x < ∞ выпукла вниз
Punti di flesso: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Limiti:
;
Valori privati:
in x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = 1, la funzione è il suo inverso: x = y
per n ≠ 1, la funzione inversa è la radice di grado n:

Funzione di potenza con esponente pari naturale, p = n = 2, 4, 6, ...

Consideriamo una funzione di potenza y = x p = x n con esponente pari naturale n = 2, 4, 6, ... . Questo indicatore può anche essere scritto nella forma: n = 2k, dove k = 1, 2, 3, ... - naturale. Le proprietà e i grafici di tali funzioni sono riportati di seguito.

Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente naturale pari per vari valori dell'esponente n = 2, 4, 6, ....

Dominio: -∞ < x < ∞
Significati multipli: 0 ≤ y< ∞
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
per x ≤ 0 diminuisce monotonicamente
per x ≥ 0 aumenta monotonicamente
Estremi: minimo, x = 0, y = 0
Convesso: convesso verso il basso
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x = 0, y = 0
Limiti:
;
Valori privati:
in x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
in x = 0, y(0) = 0 n = 0
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = 2, radice quadrata:
per n ≠ 2, radice di grado n:

Funzione di potenza con esponente intero negativo, p = n = -1, -2, -3, ...

Consideriamo una funzione di potenza y = x p = x n con un esponente intero negativo n = -1, -2, -3, ... . Se poniamo n = -k, dove k = 1, 2, 3, ... è un numero naturale, allora può essere rappresentato come:

Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente intero negativo per vari valori dell'esponente n = -1, -2, -3, ....

Esponente dispari, n = -1, -3, -5, ...

Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con esponente negativo dispari n = -1, -3, -5, ....

Dominio: x ≠ 0
Significati multipli: y ≠ 0
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: diminuisce monotonicamente
Estremi: NO
Convesso:
all'x< 0 : выпукла вверх
per x > 0: convesso verso il basso
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Cartello:
all'x< 0, y < 0
per x > 0, y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
quando n = -1,
al n< -2 ,

Esponente pari, n = -2, -4, -6, ...

Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con esponente pari negativo n = -2, -4, -6, ....

Dominio: x ≠ 0
Significati multipli: y > 0
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
all'x< 0 : монотонно возрастает
per x > 0: diminuisce monotonicamente
Estremi: NO
Convesso: convesso verso il basso
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Cartello: y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
a n = -2,
al n< -2 ,

Funzione di potenza con esponente razionale (frazionario).

Considera una funzione di potenza y = x p con un esponente razionale (frazionario), dove n è un numero intero, m > 1 è un numero naturale. Inoltre, n, m non ce l'ho divisori comuni.

Il denominatore dell'indicatore frazionario è dispari

Sia dispari il denominatore dell'esponente frazionario: m = 3, 5, 7, ... . In questo caso, la funzione potenza x p è definita sia per i valori positivi che negativi dell'argomento x. Consideriamo le proprietà di tali funzioni di potenza quando l'esponente p rientra entro certi limiti.

Il valore p è negativo, p< 0

Sia l'esponente razionale (con denominatore dispari m = 3, 5, 7, ...) minore di zero: .

Grafici di funzioni di potenza con esponente razionale negativo per vari valori dell'esponente, dove m = 3, 5, 7, ... - dispari.

Numeratore dispari, n = -1, -3, -5, ...

Presentiamo le proprietà della funzione di potenza y = x p con un esponente negativo razionale, dove n = -1, -3, -5, ... è un intero negativo dispari, m = 3, 5, 7 ... è un intero naturale dispari.

Dominio: x ≠ 0
Significati multipli: y ≠ 0
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: diminuisce monotonicamente
Estremi: NO
Convesso:
all'x< 0 : выпукла вверх
per x > 0: convesso verso il basso
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Cartello:
all'x< 0, y < 0
per x > 0, y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
in x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:

Numeratore pari, n = -2, -4, -6, ...

Proprietà della funzione di potenza y = x p con esponente razionale negativo, dove n = -2, -4, -6, ... è un intero negativo pari, m = 3, 5, 7 ... è un intero naturale dispari .

Dominio: x ≠ 0
Significati multipli: y > 0
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
all'x< 0 : монотонно возрастает
per x > 0: diminuisce monotonicamente
Estremi: NO
Convesso: convesso verso il basso
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Cartello: y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
in x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:

Il valore p è positivo, inferiore a uno, 0< p < 1

Grafico di una funzione di potenza con esponente razionale (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numeratore dispari, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Dominio: -∞ < x < +∞
Significati multipli: -∞ < y < +∞
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi: NO
Convesso:
all'x< 0 : выпукла вниз
per x > 0: convesso verso l'alto
Punti di flesso: x = 0, y = 0
Punti di intersezione con assi coordinati: x = 0, y = 0
Cartello:
all'x< 0, y < 0
per x > 0, y > 0
Limiti:
;
Valori privati:
in x = -1, y(-1) = -1
in x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

Numeratore pari, n = 2, 4, 6, ...

Vengono presentate le proprietà della funzione di potenza y = x p con esponente razionale compreso tra 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Dominio: -∞ < x < +∞
Significati multipli: 0 ≤ y< +∞
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
all'x< 0 : монотонно убывает
per x > 0: aumenta monotonicamente
Estremi: minimo in x = 0, y = 0
Convesso: convesso verso l'alto per x ≠ 0
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x = 0, y = 0
Cartello: per x ≠ 0, y > 0
Limiti:
;
Valori privati:
in x = -1, y(-1) = 1
in x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

L'indice p è maggiore di uno, p > 1

Grafico di una funzione di potenza con esponente razionale (p > 1) per vari valori dell'esponente, dove m = 3, 5, 7, ... è dispari.

Numeratore dispari, n = 5, 7, 9, ...

Proprietà della funzione potenza y = x p con esponente razionale maggiore di uno: . Dove n = 5, 7, 9, ... - naturale dispari, m = 3, 5, 7 ... - naturale dispari.

Dominio: -∞ < x < ∞
Significati multipli: -∞ < y < ∞
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta monotonicamente
Estremi: NO
Convesso:
a -∞< x < 0 выпукла вверх
a 0< x < ∞ выпукла вниз
Punti di flesso: x = 0, y = 0
Punti di intersezione con assi coordinati: x = 0, y = 0
Limiti:
;
Valori privati:
in x = -1, y(-1) = -1
in x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

Numeratore pari, n = 4, 6, 8, ...

Proprietà della funzione potenza y = x p con esponente razionale maggiore di uno: . Dove n = 4, 6, 8, ... - naturale pari, m = 3, 5, 7 ... - naturale dispari.

Dominio: -∞ < x < ∞
Significati multipli: 0 ≤ y< ∞
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
all'x< 0 монотонно убывает
per x > 0 aumenta monotonicamente
Estremi: minimo in x = 0, y = 0
Convesso: convesso verso il basso
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x = 0, y = 0
Limiti:
;
Valori privati:
in x = -1, y(-1) = 1
in x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

Il denominatore dell'indicatore frazionario è pari

Sia pari il denominatore dell'esponente frazionario: m = 2, 4, 6, ... . In questo caso la funzione potenza x p non è definita per valori negativi dell'argomento. Le sue proprietà coincidono con le proprietà di una funzione di potenza con esponente irrazionale (vedi la sezione successiva).

Funzione di potenza con esponente irrazionale

Consideriamo una funzione di potenza y = x p con esponente irrazionale p. Le proprietà di tali funzioni differiscono da quelle discusse sopra in quanto non sono definite per valori negativi dell'argomento x. Per valori positivi dell'argomento, le proprietà dipendono solo dal valore dell'esponente p e non dipendono dal fatto che p sia intero, razionale o irrazionale.

Funzione potenza con esponente negativo p< 0

Dominio: x > 0
Significati multipli: y > 0
Monotono: diminuisce monotonicamente
Convesso: convesso verso il basso
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Limiti: ;
Significato privato: Per x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funzione di potenza con esponente positivo p > 0

Indicatore inferiore a uno 0< p < 1

Dominio: x≥ 0
Significati multipli: y ≥ 0
Monotono: aumenta monotonicamente
Convesso: convesso verso l'alto
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x = 0, y = 0
Limiti:
Valori privati: Per x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Per x = 1, y(1) = 1 p = 1

L’indicatore è maggiore di un p > 1

Dominio: x≥ 0
Significati multipli: y ≥ 0
Monotono: aumenta monotonicamente
Convesso: convesso verso il basso
Punti di flesso: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x = 0, y = 0
Limiti:
Valori privati: Per x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Per x = 1, y(1) = 1 p = 1

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.

La lunghezza del segmento sull'asse delle coordinate è determinata dalla formula:

La lunghezza di un segmento sul piano delle coordinate si trova utilizzando la formula:

Per trovare la lunghezza di un segmento in un sistema di coordinate tridimensionale, utilizzare la seguente formula:

Le coordinate del centro del segmento (per l'asse delle coordinate viene utilizzata solo la prima formula, per il piano delle coordinate - le prime due formule, per un sistema di coordinate tridimensionale - tutte e tre le formule) vengono calcolate utilizzando le formule:

Funzione– questa è una corrispondenza del modulo sì= F(X) tra quantità variabili, per cui ciascuno considerava il valore di una certa quantità variabile X(argomento o variabile indipendente) corrisponde a un certo valore di un'altra variabile, sì(variabile dipendente, a volte questo valore è chiamato semplicemente valore della funzione). Tieni presente che la funzione presuppone quel valore di argomento X può corrispondere un solo valore della variabile dipendente A. Tuttavia, lo stesso valore A può essere ottenuto con diversi X.

Dominio delle funzioni– questi sono tutti i valori della variabile indipendente (argomento della funzione, solitamente this X), per il quale è definita la funzione, ovvero il suo significato esiste. È indicata l'area di definizione D(sì). In generale, hai già familiarità con questo concetto. Il dominio di definizione di una funzione è altrimenti chiamato dominio dei valori ammissibili, o VA, che siete riusciti a trovare da tempo.

Gamma di funzioni sono tutti i possibili valori della variabile dipendente di una determinata funzione. Designato E(A).

La funzione aumenta sull'intervallo in cui un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore maggiore della funzione. La funzione sta diminuendo sull'intervallo in cui un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore minore della funzione.

Intervalli di segno costante di una funzione- sono gli intervalli della variabile indipendente durante i quali la variabile dipendente mantiene il segno positivo o negativo.

Zeri di funzione– questi sono i valori dell’argomento in corrispondenza dei quali il valore della funzione è uguale a zero. In questi punti il ​​grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse OX). Molto spesso la necessità di trovare gli zeri di una funzione implica la necessità di risolvere semplicemente l'equazione. Inoltre, spesso la necessità di trovare intervalli di costanza di segno implica la necessità di risolvere semplicemente la disuguaglianza.

Funzione sì = F(X) sono chiamati Anche X

Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, i valori della funzione pari sono uguali. Il grafico di una funzione pari è sempre simmetrico rispetto all'asse delle ordinate dell'amplificatore operazionale.

Funzione sì = F(X) sono chiamati strano, se è definito su un insieme simmetrico e per qualsiasi X dal dominio della definizione vale l'uguaglianza:

Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, anche i valori della funzione dispari sono opposti. Il grafico di una funzione dispari è sempre simmetrico rispetto all'origine.

La somma delle radici delle funzioni pari e dispari (i punti di intersezione dell'asse x OX) è sempre uguale a zero, perché per ogni radice positiva X ha una radice negativa - X.

È importante notare: alcune funzioni non devono essere pari o dispari. Ci sono molte funzioni che non sono né pari né dispari. Tali funzioni sono chiamate funzioni generali, e per loro nessuna delle uguaglianze o proprietà sopra indicate è soddisfatta.

Funzione lineareè una funzione che può essere data dalla formula:

Il grafico di una funzione lineare è una linea retta e nel caso generale si presenta così (viene fornito un esempio per il caso in cui K> 0, in questo caso la funzione è crescente; per l'occasione K < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Grafico di una funzione quadratica (Parabola)

Il grafico di una parabola è dato da una funzione quadratica:

Una funzione quadratica, come qualsiasi altra funzione, interseca l'asse OX nei punti che sono le sue radici: ( X 1; 0) e ( X 2; 0). Se non ci sono radici, la funzione quadratica non interseca l'asse OX, se c'è solo una radice, allora a questo punto (; X 0; 0) la funzione quadratica tocca solo l'asse OX, ma non lo interseca. La funzione quadratica interseca sempre l'asse OY nel punto con coordinate: (0; C). Il grafico di una funzione quadratica (parabola) può assomigliare a questo (la figura mostra esempi tutt'altro che esaustivi tipi possibili parabole):

In cui:

• se il coefficiente UN> 0, in funzione sì = ascia 2 + bx + C, allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto;
• Se UN < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Le coordinate del vertice di una parabola possono essere calcolate utilizzando le seguenti formule. X al massimo (P- nelle immagini sopra) parabole (ovvero il punto in cui il trinomio quadratico raggiunge il suo valore massimo o minimo):

Cime Igrek (Q- nelle figure sopra) parabole o il massimo se i rami della parabola sono diretti verso il basso ( UN < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (UN> 0), il valore del trinomio quadratico:

Grafici di altre funzioni

Funzione di potenza

Ecco alcuni esempi di grafici di funzioni potenza:

Inversamente proporzionaleè una funzione data dalla formula:

A seconda del segno del numero K Un grafico di dipendenza inversamente proporzionale può avere due opzioni fondamentali:

Asintotoè una linea alla quale il grafico di una funzione si avvicina infinitamente ma non interseca. Gli asintoti per i grafici di proporzionalità inversa mostrati nella figura sopra sono gli assi delle coordinate a cui il grafico della funzione si avvicina infinitamente, ma non li interseca.

Funzione esponenziale con basamento UNè una funzione data dalla formula:

UN Il grafico di una funzione esponenziale può avere due opzioni fondamentali (facciamo anche degli esempi, vedi sotto):

Funzione logaritmicaè una funzione data dalla formula:

A seconda che il numero sia maggiore o minore di uno UN Il grafico di una funzione logaritmica può avere due opzioni fondamentali:

Grafico di una funzione sì = |X| come segue:

Grafici di funzioni periodiche (trigonometriche).

Funzione A = F(X) è chiamato periodico, se esiste un numero diverso da zero T, Che cosa F(X + T) = F(X), per chiunque X dal dominio della funzione F(X). Se la funzione F(X) è periodico con punto T, quindi la funzione:

Dove: UN, K, B sono numeri costanti e K diverso da zero, anche periodico con punto T 1, che è determinato dalla formula:

La maggior parte degli esempi di funzioni periodiche sono funzioni trigonometriche. Ecco i grafici dei principali funzioni trigonometriche. La figura seguente mostra parte del grafico della funzione sì= peccato X(l'intero grafico continua all'infinito a destra e a sinistra), grafico della funzione sì= peccato X chiamato sinusoide:

Grafico di una funzione sì=cos X chiamato coseno. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Poiché il grafico sinusoidale continua indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra e a destra:

Grafico di una funzione sì= tg X chiamato tangente. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche, questo programma si ripete indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra e a destra.

E infine il grafico della funzione sì=ctg X chiamato cotangentoide. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche e trigonometriche, questo grafico si ripete indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra e a destra.

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Come prepararsi con successo per il CT in fisica e matematica?

Per prepararsi con successo al CT in fisica e matematica, è necessario soddisfare, tra le altre cose, tre condizioni fondamentali:

1. Studia tutti gli argomenti e completa tutti i test e i compiti forniti nei materiali didattici su questo sito. Per fare questo non hai bisogno di nulla, vale a dire: dedicare tre o quattro ore ogni giorno alla preparazione per il CT in fisica e matematica, studiando la teoria e risolvendo problemi. Il fatto è che il TC è un esame in cui non basta conoscere solo la fisica o la matematica, bisogna anche essere in grado di risolvere velocemente e senza errori un gran numero di problemi su argomenti diversi e di varia complessità. Quest'ultimo può essere appreso solo risolvendo migliaia di problemi.
2. Impara tutte le formule e le leggi della fisica e le formule e i metodi della matematica. In effetti, anche questo è molto semplice da fare; in fisica ci sono solo circa 200 formule necessarie, e anche un po' meno in matematica. In ciascuna di queste materie esistono circa una dozzina di metodi standard per risolvere problemi di livello base di complessità, che possono anche essere appresi e, quindi, in modo completamente automatico e senza difficoltà, risolvendo la maggior parte dei CT al momento giusto. Dopodiché dovrai pensare solo ai compiti più difficili.
3. Partecipa a tutte e tre le fasi delle prove generali di fisica e matematica. Ogni RT può essere visitato due volte per decidere su entrambe le opzioni. Ancora una volta, nel TC, oltre alla capacità di risolvere problemi in modo rapido ed efficiente e alla conoscenza di formule e metodi, è necessario anche essere in grado di pianificare correttamente il tempo, distribuire le forze e, soprattutto, compilare correttamente il modulo di risposta, senza confondere i numeri delle risposte e dei problemi, o il proprio cognome. Inoltre, durante il RT, è importante abituarsi allo stile di porre domande sui problemi, che può sembrare molto insolito per una persona impreparata al DT.

L'implementazione riuscita, diligente e responsabile di questi tre punti, nonché lo studio responsabile dei test formativi finali, ti consentiranno di mostrare un risultato eccellente al CT, il massimo di ciò di cui sei capace.

Trovato un errore?

Se pensi di aver trovato un errore in materiali didattici, quindi per favore scrivilo su e-mail(). Nella lettera indica l'argomento (fisica o matematica), il nome o il numero dell'argomento o del test, il numero del problema o il punto del testo (pagina) dove, secondo te, c'è un errore. Descrivi anche qual è l'errore sospetto. La tua lettera non passerà inosservata, l'errore verrà corretto oppure ti verrà spiegato perché non si tratta di un errore.

1. Funzione lineare frazionaria e suo grafico

Una funzione della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi, è chiamata funzione razionale frazionaria.

Probabilmente hai già familiarità con il concetto di numeri razionali. Allo stesso modo funzioni razionali sono funzioni che possono essere rappresentate come il quoziente di due polinomi.

Se una funzione razionale frazionaria è il quoziente di due funzioni lineari - polinomi di primo grado, ad es. funzione della forma

y = (ax + b) / (cx + d), allora è detta lineare frazionaria.

Si noti che nella funzione y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (altrimenti la funzione diventa lineare y = ax/d + b/d) e che a/c ≠ b/d (altrimenti la la funzione è costante). La funzione frazionaria lineare è definita per tutti i numeri reali tranne x = -d/c. I grafici delle funzioni lineari frazionarie non differiscono nella forma dal grafico y = 1/x che conosci. Viene chiamata una curva che è un grafico della funzione y = 1/x iperbole. Con un aumento illimitato di x in valore assoluto, la funzione y = 1/x diminuisce illimitatamente in valore assoluto ed entrambi i rami del grafico si avvicinano all'ascissa: quello di destra si avvicina dall'alto, e quello di sinistra dal basso. Le rette a cui si avvicinano i rami di un'iperbole sono chiamate sue asintoti.

Esempio 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Soluzione.

Selezioniamo l'intera parte: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione si ottiene dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: spostamento di 3 segmenti unitari verso destra, allungamento lungo l'asse Oy 7 volte e spostamento di 2 segmenti unitari verso l'alto.

Qualsiasi frazione y = (ax + b) / (cx + d) può essere scritta in modo simile, evidenziando la “parte intera”. Di conseguenza, i grafici di tutte le funzioni lineari frazionarie sono iperboli, spostate in vari modi lungo gli assi coordinati e allungate lungo l'asse Oy.

Per costruire un grafico di qualsiasi funzione lineare frazionaria arbitraria, non è affatto necessario trasformare la frazione che definisce questa funzione. Poiché sappiamo che il grafico è un'iperbole, basterà trovare le rette a cui si avvicinano i suoi rami, gli asintoti dell'iperbole x = -d/c e y = a/c.

Esempio 2.

Trova gli asintoti del grafico della funzione y = (3x + 5)/(2x + 2).

Soluzione.

La funzione non è definita, in x = -1. Ciò significa che la retta x = -1 funge da asintoto verticale. Per trovare l’asintoto orizzontale, scopriamo a cosa si avvicinano i valori della funzione y(x) quando l’argomento x aumenta in valore assoluto.

Per fare ciò, dividi il numeratore e il denominatore della frazione per x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Per x → ∞ la frazione tenderà a 3/2. Ciò significa che l'asintoto orizzontale è la retta y = 3/2.

Esempio 3.

Rappresentare graficamente la funzione y = (2x + 1)/(x + 1).

Soluzione.

Selezioniamo la “parte intera” della frazione:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione si ottiene dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: uno spostamento di 1 unità a sinistra, una visualizzazione simmetrica rispetto a Ox e uno spostamento di 2 segmenti unitari lungo l'asse Oy.

Dominio D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Intervallo di valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Punti di intersezione con gli assi: c Oy: (0; 1); c Bue: (-1/2; 0). La funzione aumenta ad ogni intervallo del dominio di definizione.

Risposta: Figura 1.

2. Funzione razionale frazionaria

Consideriamo una funzione razionale frazionaria della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi di grado superiore al primo.

Esempi di tali funzioni razionali:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) oppure y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Se la funzione y = P(x) / Q(x) rappresenta il quoziente di due polinomi di grado superiore al primo, il suo grafico sarà, di regola, più complesso e talvolta può essere difficile costruirlo accuratamente , con tutti i dettagli. Spesso però è sufficiente utilizzare tecniche simili a quelle che abbiamo già introdotto sopra.

Sia la frazione una frazione propria (n< m). Известно, что любую несократимую frazione razionale può essere rappresentato, e in modo unico, come somma di un numero finito di frazioni elementari, la cui forma è determinata scomponendo il denominatore della frazione Q(x) nel prodotto di fattori reali:

P(x)/Q(x) = LA 1 /(x – RE 1) m1 + LA 2 /(x – RE 1) m1-1 + … + LA m1 /(x – RE 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Ovviamente il grafico di una funzione razionale frazionaria può essere ottenuto come somma di grafici di frazioni elementari.

Tracciamento di grafici di funzioni razionali frazionarie

Consideriamo diversi modi per costruire grafici di una funzione razionale frazionaria.

Esempio 4.

Rappresentare graficamente la funzione y = 1/x 2 .

Soluzione.

Utilizziamo il grafico della funzione y = x 2 per costruire un grafico di y = 1/x 2 e utilizziamo la tecnica della “divisione” dei grafici.

Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Intervallo di valori E(y) = (0; +∞).

Non ci sono punti di intersezione con gli assi. La funzione è pari. Aumenta per tutti gli x dall'intervallo (-∞; 0), diminuisce per x da 0 a +∞.

Risposta: Figura 2.

Esempio 5.

Rappresentare graficamente la funzione y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Soluzione.

Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3+1/3.

Qui abbiamo utilizzato la tecnica della fattorizzazione, riduzione e riduzione a una funzione lineare.

Risposta: Figura 3.

Esempio 6.

Rappresentare graficamente la funzione y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Soluzione.

Il dominio di definizione è D(y) = R. Poiché la funzione è pari, il grafico è simmetrico rispetto all'ordinata. Prima di costruire un grafico trasformiamo nuovamente l’espressione evidenziando l’intera parte:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Si noti che isolare la parte intera nella formula di una funzione razionale frazionaria è uno dei principali quando si costruiscono grafici.

Se x → ±∞, allora y → 1, cioè la retta y = 1 è un asintoto orizzontale.

Risposta: Figura 4.

Esempio 7.

Consideriamo la funzione y = x/(x 2 + 1) e proviamo a trovare con precisione il suo valore più grande, ovvero il punto più alto nella metà destra del grafico. Per costruire accuratamente questo grafico, le conoscenze odierne non sono sufficienti. Ovviamente, la nostra curva non può “salire” molto in alto, perché il denominatore inizia rapidamente a “superare” il numeratore. Vediamo se il valore della funzione può essere uguale a 1. Per fare questo, dobbiamo risolvere l'equazione x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Questa equazione non ha radici reali. Ciò significa che la nostra ipotesi è errata. Per trovare il valore più grande della funzione, devi scoprire in quale A più grande l'equazione A = x/(x 2 + 1) avrà una soluzione. Sostituiamo l'equazione originale con una quadratica: Ax 2 – x + A = 0. Questa equazione ha una soluzione quando 1 – 4A 2 ≥ 0. Da qui troviamo il valore più grande A = 1/2.

Risposta: Figura 5, max y(x) = ½.

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Scegliamo un sistema di coordinate rettangolari sul piano e tracciamo i valori dell'argomento sull'asse delle ascisse X e in ordinata i valori della funzione y = f(x).

Grafico della funzione y = f(x)è l'insieme di tutti i punti le cui ascisse appartengono al dominio di definizione della funzione, e le ordinate sono uguali ai corrispondenti valori della funzione.

In altre parole, il grafico della funzione y = f (x) è l'insieme di tutti i punti del piano, coordinate X, A che soddisfano la relazione y = f(x).

Nella fig. 45 e 46 mostrano i grafici delle funzioni y = 2x + 1 E y = x2 - 2x.

A rigor di termini, si dovrebbe distinguere tra un grafico di una funzione (la cui esatta definizione matematica è stata data sopra) e una curva disegnata, che fornisce sempre solo uno schizzo più o meno accurato del grafico (e anche allora, di regola, non l'intero grafico, ma solo la sua parte situata nelle parti finali del piano). In quanto segue, tuttavia, diremo generalmente “grafico” piuttosto che “schizzo grafico”.

Usando un grafico, puoi trovare il valore di una funzione in un punto. Vale a dire, se il punto x = a appartiene al dominio di definizione della funzione y = f(x), quindi per trovare il numero fa)(ovvero i valori della funzione al punto x = a) dovresti farlo. È necessario attraverso il punto dell'ascissa x = a tracciare una linea retta parallela all'asse delle ordinate; questa linea intersecherà il grafico della funzione y = f(x) a un certo punto; l'ordinata di tale punto sarà, in virtù della definizione del grafico, pari a fa)(Fig. 47).

Ad esempio, per la funzione f(x) = x2 - 2x utilizzando il grafico (Fig. 46) troviamo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, ecc.

Un grafico di funzione illustra chiaramente il comportamento e le proprietà di una funzione. Ad esempio, dalla considerazione della Fig. 46 è evidente che la funzione y = x2 - 2x assume valori positivi quando X< 0 e a x > 2, negativo - a 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x2 - 2x accetta a x = 1.

Rappresentare graficamente una funzione f(x) devi trovare tutti i punti del piano, le coordinate X,A che soddisfano l'equazione y = f(x). Nella maggior parte dei casi ciò è impossibile poiché esiste un numero infinito di tali punti. Pertanto, il grafico della funzione è rappresentato in modo approssimativo, con maggiore o minore precisione. Il più semplice è il metodo di tracciare un grafico utilizzando diversi punti. Consiste nel fatto che l'argomento X fornire un numero finito di valori, ad esempio x 1, x 2, x 3,..., x k e creare una tabella che includa i valori della funzione selezionata.

La tabella è simile a questa:

Dopo aver compilato una tabella del genere, possiamo delineare diversi punti sul grafico della funzione y = f(x). Quindi, collegando questi punti con una linea morbida, otteniamo una visione approssimativa del grafico della funzione y = f(x).

Va notato, tuttavia, che il metodo di tracciamento multipunto è molto inaffidabile. Resta infatti sconosciuto il comportamento del grafico tra i punti previsti ed il suo comportamento al di fuori del segmento compreso tra i punti estremi presi.

Esempio 1. Rappresentare graficamente una funzione y = f(x) qualcuno ha compilato una tabella di argomenti e valori di funzione:

I cinque punti corrispondenti sono mostrati in Fig. 48.

Sulla base della posizione di questi punti, concluse che il grafico della funzione è una linea retta (mostrata in Fig. 48 con una linea tratteggiata). Questa conclusione può essere considerata attendibile? A meno che non vi siano ulteriori considerazioni a supporto di questa conclusione, difficilmente può essere considerata affidabile. affidabile.

Per comprovare la nostra affermazione, consideriamo la funzione

.

I calcoli mostrano che i valori di questa funzione nei punti -2, -1, 0, 1, 2 sono esattamente descritti dalla tabella sopra. Tuttavia, il grafico di questa funzione non è affatto una linea retta (è mostrato in Fig. 49). Un altro esempio potrebbe essere la funzione y = x + l + sinπx; i suoi significati sono descritti anche nella tabella sopra.

Questi esempi mostrano che nella sua forma “pura” il metodo di tracciare un grafico utilizzando più punti non è affidabile. Pertanto, per tracciare il grafico di una determinata funzione, di regola, procedere come segue. Innanzitutto, vengono studiate le proprietà di questa funzione, con l'aiuto della quale è possibile costruire uno schizzo del grafico. Quindi, calcolando i valori della funzione in più punti (la cui scelta dipende dalle proprietà stabilite della funzione), si trovano i punti corrispondenti del grafico. Infine, viene tracciata una curva attraverso i punti costruiti utilizzando le proprietà di questa funzione.

In seguito esamineremo alcune proprietà (quelle più semplici e usate più frequentemente) delle funzioni utilizzate per trovare uno schizzo di grafico, ma ora esamineremo alcuni metodi comunemente usati per costruire grafici.

Grafico della funzione y = |f(x)|.

Spesso è necessario tracciare una funzione y = |f(x)|, dove f(x) - data funzione. Lascia che ti ricordiamo come è fatto. Definendo il valore assoluto di un numero, possiamo scrivere

Ciò significa che il grafico della funzione y =|f(x)| può essere ottenuto dal grafico, funzione y = f(x) come segue: tutti i punti sul grafico della funzione y = f(x), le cui ordinate non sono negative, dovrebbero essere lasciate invariate; inoltre, invece dei punti del grafico della funzione y = f(x) avendo coordinate negative, dovresti costruire i punti corrispondenti sul grafico della funzione y = -f(x)(cioè parte del grafico della funzione
y = f(x), che si trova sotto l'asse X, dovrebbe riflettersi simmetricamente rispetto all'asse X).

Esempio 2. Rappresentare graficamente la funzione y = |x|.

Prendiamo il grafico della funzione y = x(Fig. 50, a) e parte di questo grafico a X< 0 (che giace sotto l'asse X) riflesso simmetricamente rispetto all'asse X. Di conseguenza, otteniamo un grafico della funzione y = |x|(Fig. 50, b).

Esempio 3. Rappresentare graficamente la funzione y = |x2 - 2x|.

Per prima cosa, tracciamo la funzione y = x2 - 2x. Il grafico di questa funzione è una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto, la parte superiore della parabola ha coordinate (1; -1), il suo grafico interseca l'asse x nei punti 0 e 2. Nell'intervallo (0; 2) la funzione assume valori negativi, quindi questa parte del grafico si riflette simmetricamente rispetto all'asse delle ascisse. La Figura 51 mostra il grafico della funzione y = |x2 -2x|, in base al grafico della funzione y = x2 - 2x

Grafico della funzione y = f(x) + g(x)

Consideriamo il problema della costruzione del grafico di una funzione y = f(x) + g(x). se vengono forniti i grafici delle funzioni y = f(x) E y = g(x).

Si noti che il dominio di definizione della funzione y = |f(x) + g(x)| è l'insieme di tutti quei valori di x per i quali sono definite entrambe le funzioni y = f(x) e y = g(x), cioè questo dominio di definizione è l'intersezione dei domini di definizione, funzioni f(x) eg(x).

Lasciamo i punti (x0,y1) E (x0,y2) appartengono rispettivamente ai grafici delle funzioni y = f(x) E y = g(x), cioè s 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Allora il punto (x0;.y1 + y2) appartiene al grafico della funzione y = f(x) + g(x)(per f(x0) + g(x0) = sì 1+y2),. e qualsiasi punto del grafico della funzione y = f(x) + g(x) può essere ottenuto in questo modo. Pertanto, il grafico della funzione y = f(x) + g(x) possono essere ottenuti dai grafici delle funzioni y = f(x). E y = g(x) sostituendo ogni punto ( xn, y 1) grafica delle funzioni y = f(x) punto (x n, y 1 + y 2), Dove y2 = g(xn), ovvero spostando ciascun punto ( x n, y 1) grafico della funzione y = f(x) lungo l'asse A per l'importo y1 = g(x n). In questo caso, vengono considerati solo tali punti X n per il quale sono definite entrambe le funzioni y = f(x) E y = g(x).

Questo metodo per tracciare una funzione y = f(x) + g(x) è chiamata addizione di grafici di funzioni y = f(x) E y = g(x)

Esempio 4. Nella figura, è stato costruito un grafico della funzione utilizzando il metodo dell'aggiunta di grafici
y = x + sinx.

Quando si traccia una funzione y = x + sinx lo abbiamo pensato f(x) = x, UN g(x) = sinx. Per tracciare il grafico della funzione, selezioniamo i punti con ascisse -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Calcoliamo nei punti selezionati e inseriamo i risultati nella tabella.