Proprietà di potenza. Funzioni elementari di base: loro proprietà e grafici. Proprietà della funzione arcoseno

Lezione e presentazione sul tema: "Funzioni potenza. Esponente intero negativo. Grafico di una funzione potenza"

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Una specie di funzione di potenza con esponente negativo

Ragazzi, continuiamo a studiare le funzioni numeriche. L'argomento della lezione di oggi saranno anche le funzioni di potenza, ma non con un esponente naturale, ma con un numero intero negativo.
ha questo aspetto: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
Una di queste funzioni che conosciamo molto bene è l'iperbole. Ragazzi, vi ricordate il grafico dell'iperbole? Costruiscilo tu stesso.

Diamo un'occhiata a una delle funzioni adatte a noi e definiamo le proprietà per essa. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Cominciamo con la parità. Vale la pena notare che la proprietà di parità semplifica notevolmente la costruzione di grafici di funzioni, poiché possiamo costruire metà del grafico e poi semplicemente rifletterlo.
Il dominio della nostra funzione è l'insieme dei numeri reali, tranne lo zero, sappiamo tutti benissimo che non si può dividere per zero. Il dominio di definizione è un insieme simmetrico, si procede al calcolo del valore della funzione da un argomento negativo.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
La nostra funzione è pari. Quindi, possiamo costruire un grafico per $x≥0$, e poi rifletterlo lungo l'asse y.
Ragazzi, questa volta vi propongo di costruire insieme un grafico di funzione, come fanno nella matematica "per adulti". Innanzitutto, definiamo le proprietà della nostra funzione, quindi costruiamo un grafico basato su di esse. Prenderemo in considerazione che $x>0$.
1. Dominio D(y)=(0;+∞).
2. La funzione è decrescente. Controlliamolo. Sia $x1 \frac(1)(x_(2)^2)$. Poiché dividiamo per un numero maggiore, risulta che la funzione stessa in un numero maggiore sarà inferiore, il che significa diminuire.
3. La funzione è limitata dal basso. È ovvio che $\frac(1)(x^2)>0$, il che significa che è limitato dal basso.
Non esiste un limite superiore, perché se prendiamo il valore dell'argomento molto piccolo, vicino allo zero, allora il valore della funzione tenderà a più infinito.
4. Non esiste un valore massimo o minimo. Non esiste un valore massimo, poiché la funzione non è limitata dall'alto. Che dire del valore più piccolo, perché la funzione è limitata dal basso.

Cosa significa che una funzione ha il valore più piccolo?

C'è un punto x0 tale che per ogni x dal dominio $f(x)≥f(x0)$, ma la nostra funzione è decrescente sull'intero dominio, allora c'è un tale numero $х1>x0$, ma $f (x1)

Grafici di funzioni di potenza con esponenti negativi

Costruiamo un grafico della nostra funzione per punti.




Il grafico della nostra funzione è molto simile al grafico di un'iperbole.
Usiamo la proprietà di parità e riflettiamo il grafico lungo l'asse y.

Scriviamo le proprietà della nostra funzione per tutti i valori x.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Una funzione pari.
3) Aumenta di (-∞;0], diminuisce di .
Soluzione. La funzione decresce sull'intero dominio di definizione, quindi raggiunge i suoi valori massimo e minimo alle estremità del segmento. Il valore più grande sarà all'estremità sinistra del segmento $f(1)=1$, il più piccolo all'estremità destra $f(3)=\frac(1)(27)$.
Risposta: Il valore più grande è 1, il più piccolo è 1/27.

Esempio. Traccia la funzione $y=(x+2)^(-4)+1$.
Soluzione. Il grafico della nostra funzione si ottiene dal grafico della funzione $y=x^(-4)$ spostandolo di due unità a sinistra e di una unità in alto.
Costruiamo un grafico:

Compiti per soluzione indipendente

1. Trova il valore minimo e massimo della funzione $y=\frac(1)(x^4)$ sul segmento .
2. Tracciare la funzione $y=(x-3)^(-5)+2$.

Grado 10

FUNZIONE DI POTENZA

Energia chiamatofunzione data dalla formulaDove, P – qualche numero reale.

IO . Indiceè un numero naturale pari. Poi la funzione di potenza DoveN

D ( si )= (−; +).

2) L'intervallo della funzione è un insieme di numeri non negativi se:

insieme di numeri non positivi se:

3) ) . Quindi la funzioneEhi .

4) Se, allora la funzione decresce comeX (- ; 0] e aumenta conX e diminuisce aX e convessità sull'intervallo [ 0 , + ∞) ;

il punto di flesso ha coordinate (0 ; 0) ;

non ci sono asintoti;

il grafico della funzione per n dispari passa per i punti (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) e (1 ; 1) .

Funzione di potenza

Definizione 5

La funzione potenza è definita dalla formula y = x a .

Il tipo di grafici e le proprietà della funzione dipendono dal valore dell'esponente.

• quando una funzione potenza ha un esponente intero a, allora la forma del grafico della funzione potenza e le sue proprietà dipendono dal fatto che l'esponente sia pari o dispari, e anche dal segno che ha l'esponente. Consideriamo tutti questi casi speciali in modo più dettagliato di seguito;
• l'esponente può essere frazionario o irrazionale - a seconda di ciò, variano anche il tipo di grafici e le proprietà della funzione. Analizzeremo casi particolari impostando diverse condizioni: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• una funzione potenza può avere esponente nullo, analizzeremo anche questo caso più in dettaglio di seguito.

Analizziamo la funzione potenza y = x a quando a è un numero positivo dispari, ad esempio a = 1 , 3 , 5 …

Per chiarezza indichiamo i grafici di tali funzioni potenza: y = x (colore nero del grafico), y = x 3 (colore blu del grafico), y = x 5 (colore rosso del grafico), y = x 7 (grafico verde). Quando a = 1, otteniamo una funzione lineare y = x.

Definizione 6

Proprietà di una funzione potenza quando l'esponente è dispari positivo

• la funzione è crescente per x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• la funzione è convessa per x ∈ (- ∞ ; 0 ] e concava per x ∈ [ 0 ; + ∞) (esclusa la funzione lineare);
• il punto di flesso ha coordinate (0 ; 0) (esclusa la funzione lineare);
• non ci sono asintoti;
• funzione che passa punti: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizziamo la funzione potenza y = x a quando a è un numero pari positivo, ad esempio a = 2 , 4 , 6 ...

Per chiarezza indichiamo i grafici di tali funzioni di potenza: y \u003d x 2 (colore nero del grafico), y = x 4 (colore blu del grafico), y = x 8 (colore rosso del grafico). Quando a = 2, otteniamo una funzione quadratica il cui grafico è una parabola quadratica.

Definizione 7

Proprietà di una funzione di potenza quando l'esponente è anche positivo:

• dominio di definizione: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• decrescente per x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• la funzione è concava per x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• funzione che passa punti: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La figura seguente mostra esempi di grafici di funzioni esponenziali y = x a quando a è un numero negativo dispari: y = x - 9 (colore nero del grafico); y = x - 5 (colore blu del grafico); y = x - 3 (colore rosso del grafico); y = x - 1 (grafico verde). Quando a \u003d - 1, otteniamo una proporzionalità inversa, il cui grafico è un'iperbole.

Definizione 8

Proprietà della funzione di potenza quando l'esponente è dispari negativo:

Quando x \u003d 0, otteniamo una discontinuità del secondo tipo, poiché lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ per a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Pertanto, la retta x = 0 è un asintoto verticale;

• intervallo: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• la funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è decrescente per x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• la funzione è convessa per x ∈ (- ∞ ; 0) e concava per x ∈ (0 ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;

k = lim x → ∞ x un x = 0 , b = lim x → ∞ (x un - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quando un = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• funzione che passa punti: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La figura seguente mostra esempi di grafici della funzione potenza y = x a quando a è un numero pari negativo: y = x - 8 (grafico in nero); y = x - 4 (colore blu del grafico); y = x - 2 (colore rosso del grafico).

Definizione 9

Proprietà della funzione di potenza quando l'esponente è anche negativo:

• dominio di definizione: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Quando x \u003d 0, otteniamo una discontinuità del secondo tipo, poiché lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ per a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Pertanto, la retta x = 0 è un asintoto verticale;

• la funzione è pari perché y (- x) = y (x) ;
• la funzione è crescente per x ∈ (- ∞ ; 0) e decrescente per x ∈ 0 ; +∞ ;
• la funzione è concava per x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;
• l'asintoto orizzontale è una retta y = 0 perché:

k = lim x → ∞ x un x = 0 , b = lim x → ∞ (x un - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quando un = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funzione che passa punti: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Prestiamo fin dall'inizio attenzione al seguente aspetto: nel caso in cui a sia una frazione positiva con denominatore dispari, alcuni autori prendono l'intervallo - ∞ come dominio di definizione di questa funzione potenza; + ∞ , stabilendo che l'esponente a è una frazione irriducibile. Al momento, gli autori di molte pubblicazioni educative sull'algebra e gli inizi dell'analisi NON DEFINISCONO funzioni di potenza, dove l'esponente è una frazione con un denominatore dispari per i valori negativi dell'argomento. Inoltre, aderiamo proprio a una tale posizione: prendiamo l'insieme [ 0 ; +∞) . Raccomandazione per gli studenti: informarsi a questo punto sul punto di vista dell'insegnante per evitare disaccordi.

Quindi diamo un'occhiata alla funzione di potenza y = x a quando l'esponente è un numero razionale o irrazionale purché 0< a < 1 .

Illustriamo con grafici le funzioni potenza y = x a quando a = 11 12 (grafico in nero); a = 5 7 (colore rosso del grafico); a = 1 3 (colore blu del grafico); a = 2 5 (colore verde del grafico).

Altri valori dell'esponente a (assumendo 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definizione 10

Proprietà della funzione potenza a 0< a < 1:

• intervallo: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la funzione è crescente per x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la funzione ha convessità per x ∈ (0 ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;

Analizziamo la funzione potenza y = x a quando l'esponente è un numero razionale o irrazionale non intero purché a > 1 .

Illustriamo i grafici della funzione potenza y \u003d x a in determinate condizioni utilizzando le seguenti funzioni come esempio: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (nero, rosso, blu, verde grafici, rispettivamente).

Altri valori dell'esponente a nella condizione a > 1 daranno una visione simile del grafico.

Definizione 11

Proprietà della funzione potenza per a > 1:

• dominio di definizione: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• intervallo: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• data funzioneè una funzione generale (non è né dispari né pari);
• la funzione è crescente per x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la funzione è concava per x ∈ (0 ; + ∞) (quando 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• funzione che passa punti: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Attiriamo la vostra attenzione!Quando a è una frazione negativa con un denominatore dispari, nelle opere di alcuni autori si ritiene che il dominio di definizione in questo caso sia l'intervallo - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) a condizione che l'esponente a sia una frazione irriducibile. Al momento gli autori materiale didattico secondo l'algebra e gli inizi dell'analisi, le funzioni di potenza con un esponente sotto forma di frazione con un denominatore dispari con valori negativi dell'argomento NON SONO DEFINITE. Inoltre, aderiamo proprio a tale visione: prendiamo l'insieme (0 ; + ∞) come il dominio delle funzioni di potenza con esponenti frazionari negativi. Suggerimento per gli studenti: a questo punto chiarisci la visione del tuo insegnante per evitare disaccordi.

Continuiamo l'argomento e analizziamo la funzione di potenza y = x a purché: - 1< a < 0 .

Ecco un disegno dei grafici delle seguenti funzioni: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (linee nere, rosse, blu, verdi, rispettivamente ).

Definizione 12

Proprietà della funzione di potenza a - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quando - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• intervallo: y ∈ 0 ; +∞ ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• non ci sono punti di flesso;

Il disegno seguente mostra i grafici delle funzioni di potenza y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (rispettivamente i colori nero, rosso, blu e verde delle curve).

Definizione 13

Proprietà della funzione potenza per a< - 1:

• dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quando a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• la funzione è decrescente per x ∈ 0; +∞ ;
• la funzione è concava per x ∈ 0; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• asintoto orizzontale - linea retta y = 0 ;
• punto di passaggio della funzione: (1 ; 1) .

Quando a \u003d 0 e x ≠ 0, otteniamo la funzione y \u003d x 0 \u003d 1, che determina la linea da cui è escluso il punto (0; 1) (abbiamo concordato che l'espressione 0 0 non sarà data qualsiasi valore).

La funzione esponenziale ha la forma y = a x , dove a > 0 e a ≠ 1 , e il grafico di questa funzione appare diverso in base al valore della base a . Consideriamo casi speciali.

Innanzitutto, analizziamo la situazione in cui la base della funzione esponenziale ha un valore compreso tra zero e uno (0< a < 1) . Un esempio illustrativo sono i grafici delle funzioni per a = 1 2 (colore blu della curva) e a = 5 6 (colore rosso della curva).

I grafici della funzione esponenziale avranno una forma simile per altri valori della base, purché 0< a < 1 .

Definizione 14

Proprietà di una funzione esponenziale quando la base è minore di uno:

• intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• una funzione esponenziale la cui base è minore di uno è decrescente sull'intero dominio di definizione;
• non ci sono punti di flesso;
• l'asintoto orizzontale è la retta y = 0 con la variabile x tendente a + ∞ ;

Consideriamo ora il caso in cui la base della funzione esponenziale è maggiore di uno (a > 1).

Illustriamo questo caso particolare con il grafico delle funzioni esponenziali y = 3 2 x (colore blu della curva) e y = e x (colore rosso del grafico).

Altri valori della base, maggiori di uno, daranno una visione simile del grafico della funzione esponenziale.

Definizione 15

Proprietà della funzione esponenziale quando la base è maggiore di uno:

• il dominio di definizione è l'intero insieme dei numeri reali;
• intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• una funzione esponenziale la cui base è maggiore di uno è crescente per x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• la funzione è concava per x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• asintoto orizzontale - retta y = 0 con variabile x tendente a - ∞ ;
• punto di passaggio della funzione: (0 ; 1) .

La funzione logaritmica ha la forma y = log a (x) , dove a > 0 , a ≠ 1 .

Tale funzione è definita solo per valori positivi dell'argomento: per x ∈ 0 ; +∞.

La trama della funzione logaritmica ha diverso tipo, in base al valore della base a.

Consideriamo prima la situazione in cui 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Altri valori della base, non maggiori di uno, daranno una visione simile del grafico.

Definizione 16

Proprietà di una funzione logaritmica quando la base è minore di uno:

• dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞. Poiché x tende a zero da destra, i valori della funzione tendono a + ∞;
• intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• logaritmico
• la funzione è concava per x ∈ 0; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;

Analizziamo ora un caso particolare in cui la base della funzione logaritmica è maggiore di uno: a > 1 . Nel disegno sottostante sono riportati i grafici delle funzioni logaritmiche y = log 3 2 x e y = ln x (rispettivamente i colori blu e rosso dei grafici).

Altri valori della base maggiori di uno daranno una visione simile del grafico.

Definizione 17

Proprietà di una funzione logaritmica quando la base è maggiore di uno:

• dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞. Poiché x tende a zero da destra, i valori della funzione tendono a - ∞;
• intervallo: y ∈ - ∞ ; + ∞ (l'intero insieme dei numeri reali);
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• la funzione logaritmica è crescente per x ∈ 0; +∞ ;
• la funzione ha convessità per x ∈ 0; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• punto di passaggio della funzione: (1 ; 0) .

Le funzioni trigonometriche sono seno, coseno, tangente e cotangente. Analizziamo le proprietà di ciascuno di essi ei relativi grafici.

In generale, tutte le funzioni trigonometriche sono caratterizzate dalla proprietà della periodicità, cioè quando i valori della funzione vengono ripetuti a significati diversi argomento, che differiscono l'uno dall'altro per il valore del periodo f (x + T) = f (x) (T è il periodo). Pertanto, l'elemento "periodo meno positivo" viene aggiunto all'elenco delle proprietà delle funzioni trigonometriche. Inoltre, indicheremo tali valori dell'argomento per cui la funzione corrispondente svanisce.

1. Funzione seno: y = sin(x)

Il grafico di questa funzione è chiamato onda sinusoidale.

Definizione 18

Proprietà della funzione seno:

• dominio di definizione: l'intero insieme dei numeri reali x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• la funzione si annulla quando x = π k , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• la funzione è crescente per x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π K , k ∈ Z e decrescente per x ∈ π 2 + 2 π K ; 3 π 2 + 2 π K , K ∈ Z ;
• la funzione seno ha massimi locali nei punti π 2 + 2 π · k ; 1 e minimi locali nei punti - π 2 + 2 π · k ; - 1 , K ∈ Z ;
• la funzione seno è concava quando x ∈ - π + 2 π k; 2 π K , k ∈ Z e convesso quando x ∈ 2 π K ; π + 2 π K , K ∈ Z ;
• non ci sono asintoti.

1. funzione coseno: y=cos(x)

Il grafico di questa funzione è chiamato onda coseno.

Definizione 19

Proprietà della funzione coseno:

• dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• il periodo positivo più piccolo: T \u003d 2 π;
• intervallo: y ∈ - 1 ; 1 ;
• questa funzione è pari, poiché y (- x) = y (x) ;
• la funzione è crescente per x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z e decrescente per x ∈ 2 π · k ; π + 2 π K , K ∈ Z ;
• la funzione coseno ha massimi locali nei punti 2 π · k ; 1 , k ∈ Z e minimi locali nei punti π + 2 π · k ; - 1 , K ∈ z ;
• la funzione coseno è concava quando x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π K , k ∈ Z e convesso quando x ∈ - π 2 + 2 π K ; π 2 + 2 π · K , K ∈ Z ;
• i punti di flesso hanno coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• non ci sono asintoti.

1. Funzione tangente: y = t g (x)

Viene chiamato il grafico di questa funzione tangenteide.

Definizione 20

Proprietà della funzione tangente:

• dominio di definizione: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• Il comportamento della funzione tangente sul bordo del dominio di definizione lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞. Quindi, le rette x = π 2 + π · k k ∈ Z sono asintoti verticali;
• la funzione si annulla quando x = π k per k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è crescente a - π 2 + π · k ; π 2 + π K , K ∈ Z ;
• la funzione tangente è concava per x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z e convesso per x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• i punti di flesso hanno coordinate π k; 0 , K ∈ Z ;

1. Funzione cotangente: y = c t g (x)

Il grafico di questa funzione si chiama cotangentoide. .

Definizione 21

Proprietà della funzione cotangente:

• dominio di definizione: x ∈ (π k ; π + π k) , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);

Comportamento della funzione cotangente sulla frontiera del dominio di definizione lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Pertanto, le rette x = π k k ∈ Z sono asintoti verticali;

• il periodo positivo più piccolo: T \u003d π;
• la funzione si annulla quando x = π 2 + π k per k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è decrescente per x ∈ π · k ; π + π K , K ∈ Z ;
• la funzione cotangente è concava per x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z e convessa per x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• i punti di flesso hanno coordinate π 2 + π · k ; 0 , K ∈ Z ;
• non ci sono asintoti obliqui e orizzontali.

Inversione funzioni trigonometriche sono arcoseno, arcoseno, arcotangente e arcotangente. Spesso, a causa della presenza del prefisso "arco" nel nome, le funzioni trigonometriche inverse sono chiamate funzioni arco. .

1. Funzione arcoseno: y = a r c sin (x)

Definizione 22

Proprietà della funzione arcoseno:

• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione arcoseno è concava per x ∈ 0; 1 e convessità per x ∈ - 1 ; 0;
• i punti di flesso hanno coordinate (0 ; 0) , è anche lo zero della funzione;
• non ci sono asintoti.

1. Funzione arcoseno: y = a r c cos (x)

Definizione 23

Proprietà della funzione arcoseno:

• dominio di definizione: x ∈ - 1 ; 1 ;
• intervallo: y ∈ 0 ; pi;
• questa funzione è di forma generale (né pari né dispari);
• la funzione è decrescente sull'intero dominio di definizione;
• la funzione arcoseno è concava per x ∈ - 1 ; 0 e convessità per x ∈ 0 ; 1 ;
• i punti di flesso hanno coordinate 0 ; pi2;
• non ci sono asintoti.

1. Funzione arcotangente: y = a r c t g (x)

Definizione 24

Proprietà della funzione arcotangente:

• dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• intervallo: y ∈ - π 2 ; pi2;
• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è crescente sull'intero dominio di definizione;
• la funzione arcotangente è concava per x ∈ (- ∞ ; 0 ] e convessa per x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• il punto di flesso ha coordinate (0; 0), è anche lo zero della funzione;
• gli asintoti orizzontali sono le rette y = - π 2 per x → - ∞ e y = π 2 per x → + ∞ (gli asintoti nella figura sono linee verdi).

1. Funzione arco cotangente: y = a r c c t g (x)

Definizione 25

Proprietà della funzione arco cotangente:

• dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• intervallo: y ∈ (0 ; π) ;
• questa funzione è di tipo generale;
• la funzione è decrescente sull'intero dominio di definizione;
• la funzione arcocotangente è concava per x ∈ [ 0 ; + ∞) e convessità per x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• il punto di flesso ha coordinate 0 ; pi2;
• gli asintoti orizzontali sono le rette y = π in x → - ∞ (linea verde nel disegno) e y = 0 in x → + ∞.

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