Definire limite. Limite di una funzione: definizioni, teoremi e proprietà. Limite della funzione di Cauchy

Definizione di limiti di sequenza e di funzione, proprietà dei limiti, primo e secondo limite notevole, esempi.

Numero costante UN chiamato limite sequenze(x n), se per ogni numero positivo arbitrariamente piccolo ε > 0 esiste un numero N tale che tutti i valori x n, per cui n>N, soddisfa la disuguaglianza

Scrivilo come segue: oppure x n → a.

La disuguaglianza (6.1) è equivalente alla doppia disuguaglianza

un - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, a partire da un numero n>N, giacciono all'interno dell'intervallo (a-ε , a+ε), cioè cadere in qualsiasi piccolo intorno ε del punto UN.

Viene chiamata una sequenza avente un limite convergente, Altrimenti - divergente.

Il concetto di limite di funzione è una generalizzazione del concetto di limite di sequenza, poiché il limite di una sequenza può essere considerato come il limite di una funzione x n = f(n) di un argomento intero N.

Sia data la funzione f(x) e sia UN - punto limite dominio di definizione di questa funzione D(f), cioè tale punto, un qualsiasi intorno del quale contiene punti dell'insieme D(f) diversi da UN. Punto UN può appartenere o meno all'insieme D(f).

Definizione 1. Viene chiamata la costante numero A limite funzioni f(x) A x→ a, se per qualsiasi sequenza (x n) di argomenti valori tendenti a UN, le successioni corrispondenti (f(x n)) hanno lo stesso limite A.

Questa definizione si chiama determinazione del limite di una funzione secondo Heine, O " nel linguaggio sequenziale”.

Definizione 2. Viene chiamata la costante numero A limite funzioni f(x) A x→a, se, dato un numero positivo arbitrariamente piccolo ε, si può trovare tale δ >0 (dipendente da ε) che per tutti X, che giace nel quartiere ε del numero UN, cioè. Per X, soddisfacendo la disuguaglianza
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Questa definizione si chiama definendo il limite di una funzione secondo Cauchy, O “nella lingua ε - δ"

Le definizioni 1 e 2 sono equivalenti. Se la funzione f(x) come x → a ha limite, uguale ad A, questo si scrive nella forma

Nel caso in cui la successione (f(x n)) aumenta (o diminuisce) senza limiti per qualsiasi metodo di approssimazione X al tuo limite UN, allora diremo che la funzione f(x) ha limite infinito, e scrivilo nel formato:

Viene chiamata una variabile (cioè una sequenza o una funzione) il cui limite è zero infinitamente piccolo.

Viene chiamata una variabile il cui limite è uguale a infinito infinitamente grande.

Per trovare in pratica il limite si utilizzano i seguenti teoremi.

Teorema 1 . Se ogni limite esiste

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commento. Le espressioni della forma 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ sono incerte, ad esempio il rapporto tra due quantità infinitesime o infinitamente grandi, e trovare un limite di questo tipo è chiamato “divulgazione dell'incertezza”.

Teorema 2.

quelli. si può arrivare al limite in base alla potenza con esponente costante, in particolare,

Teorema 3.

(6.11)

Dove e» 2.7 - base del logaritmo naturale. Le formule (6.10) e (6.11) sono chiamate primo limite notevole e secondo limite notevole.

Nella pratica si applicano anche le conseguenze della formula (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

in particolare il limite

Se x → a e contemporaneamente x > a, allora scrivi x →a + 0. Se, in particolare, a = 0, allora al posto del simbolo 0+0 scrivi +0. Allo stesso modo, se x→a e contemporaneamente x e vengono chiamati di conseguenza limite giusto E limite sinistro funzioni f(x) al punto UN. Affinché ci sia limite della funzione f(x) come x→ a è necessario e sufficiente che . Viene chiamata la funzione f(x). continuo al punto x 0 se limite

(6.15)

La condizione (6.15) può essere riscritta come:

cioè il passaggio al limite sotto il segno di una funzione è possibile se questa è continua in un dato punto.

Se l’uguaglianza (6.15) viene violata, allora si dice così A x = xo funzione f(x) Esso ha spacco Considera la funzione y = 1/x. Il dominio di definizione di questa funzione è l'insieme R, eccetto x = 0. Il punto x = 0 è un punto limite dell'insieme D(f), poiché in qualsiasi intorno di esso, cioè in ogni intervallo aperto contenente il punto 0, ci sono punti da D(f), ma esso stesso non appartiene a questo insieme. Il valore f(x o)= f(0) non è definito, quindi nel punto x o = 0 la funzione ha una discontinuità.

Viene chiamata la funzione f(x). continua a destra nel punto x o se il limite

E continuo a sinistra nel punto x o, se il limite

Continuità di una funzione in un punto xo equivale alla sua continuità in questo punto sia a destra che a sinistra.

Affinché la funzione sia continua nel punto xo, ad esempio, a destra, è necessario, in primo luogo, che esista un limite finito, e in secondo luogo, che questo limite sia uguale a f(x o). Pertanto, se almeno una di queste due condizioni non è soddisfatta, allora la funzione presenterà una discontinuità.

1. Se il limite esiste e non è uguale a f(x o), allora dicono così funzione f(x) al punto xo ha rottura del primo tipo, O salto.

2. Se il limite è +∞ o -∞ o non esiste, allora lo dicono in punto xo la funzione ha una discontinuità secondo tipo.

Ad esempio, la funzione y = ctg x come x → +0 ha limite pari a +∞, il che significa che nel punto x=0 ha una discontinuità del secondo tipo. Funzione y = E(x) (parte intera di X) nei punti con ascisse intere presenta discontinuità del primo tipo, ovvero salti.

Si dice una funzione continua in ogni punto dell'intervallo continuo V. Una funzione continua è rappresentata da una curva solida.

Molti problemi associati alla crescita continua di una certa quantità portano al secondo limite notevole. Tali compiti includono, ad esempio: crescita dei depositi secondo la legge dell'interesse composto, crescita della popolazione del paese, decadimento delle sostanze radioattive, proliferazione di batteri, ecc.

Consideriamo esempio di Ya. I. Perelman, dando un'interpretazione del numero e nel problema dell’interesse composto. Numero e c'è un limite . Nelle casse di risparmio gli interessi vengono aggiunti ogni anno al capitale fisso. Se l'adesione avviene più spesso, il capitale cresce più velocemente, poiché nella formazione degli interessi è coinvolta una somma maggiore. Facciamo un esempio puramente teorico, molto semplificato. Si depositino in banca 100 denari. unità basato sul 100% annuo. Se il denaro degli interessi viene aggiunto al capitale fisso solo dopo un anno, entro questo periodo allora 100 den. unità si trasformerà in 200 unità monetarie. Ora vediamo in cosa si trasformeranno 100 denize. unità, se gli interessi vengono aggiunti al capitale fisso ogni sei mesi. Dopo sei mesi, 100 den. unità crescerà di 100 × 1,5 = 150 e dopo altri sei mesi di 150 × 1,5 = 225 (unità den.). Se l'adesione avviene ogni 1/3 dell'anno, dopo un anno 100 den. unità si trasformerà in 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (unità den.). Aumenteremo i termini per aggiungere gli interessi a 0,1 anno, a 0,01 anno, a 0,001 anno, ecc. Quindi su 100 den. unità dopo un anno sarà:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (unità den.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (unità den.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (unità den.).

Con una riduzione illimitata dei termini per l'aggiunta degli interessi, il capitale accumulato non cresce indefinitamente, ma si avvicina ad un certo limite pari a circa 271. Il capitale depositato al 100% annuo non può aumentare più di 2,71 volte, anche se gli interessi maturati venivano aggiunti al capitale ogni secondo perché il limite

Esempio 3.1. Utilizzando la definizione di limite di una sequenza numerica, dimostrare che la sequenza x n =(n-1)/n ha limite pari a 1.

Soluzione. Dobbiamo dimostrare che, qualunque sia ε > 0, esiste un numero naturale N tale che per ogni n > N la disuguaglianza |x n -1|< ε

Prendiamo un qualsiasi ε > 0. Poiché x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, allora per trovare N è sufficiente risolvere la disuguaglianza 1/n<ε. Отсюда n>1/ε e, quindi, N può essere considerato la parte intera di 1/ε N = E(1/ε). Abbiamo così dimostrato che il limite .

Esempio 3.2. Trovare il limite di una successione data da un termine comune .

Soluzione. Applichiamo il limite del teorema della somma e troviamo il limite di ciascun termine. Poiché n → ∞, il numeratore e il denominatore di ciascun termine tendono all'infinito e non possiamo applicare direttamente il teorema del limite quoziente. Pertanto, prima trasformiamo x n, dividendo numeratore e denominatore del primo termine per n2, e il secondo in poi N. Quindi, applicando il limite del quoziente e il limite del teorema della somma, troviamo:

Esempio 3.3. . Trovare .

Soluzione.

Qui abbiamo utilizzato il teorema del limite del grado: il limite di un grado è uguale al grado del limite della base.

Esempio 3.4. Trovare ( ).

Soluzione. È impossibile applicare il teorema del limite della differenza, poiché abbiamo un'incertezza della forma ∞-∞. Trasformiamo la formula del termine generale:

Esempio 3.5. È data la funzione f(x)=2 1/x. Dimostrare che non esiste alcun limite.

Soluzione. Usiamo la definizione 1 del limite di una funzione attraverso una sequenza. Prendiamo una successione ( x n ) convergente a 0, cioè Mostriamo che il valore f(x n)= si comporta diversamente per sequenze diverse. Sia x n = 1/n. Ovviamente, quindi il limite Scegliamo ora come x n una successione con termine comune x n = -1/n, anch'esso tendente a zero. Pertanto non vi è alcun limite.

Esempio 3.6. Dimostrare che non esiste alcun limite.

Soluzione. Sia x 1 , x 2 ,..., x n ,... una successione per la quale
. Come si comporta la successione (f(x n)) = (sin x n) per diversi x n → ∞

Se x n = p n, allora sin x n = sin (p n) = 0 per tutti N e il limite Se
x n = 2 p n+ p /2, allora sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 per tutti N e quindi il limite. Quindi non esiste.

Limite di funzione- numero UN sarà il limite di una certa quantità variabile se, nel processo del suo cambiamento, questa quantità variabile si avvicina indefinitamente UN.

O in altre parole, il numero UNè il limite della funzione y = f(x) al punto x0, se per qualsiasi sequenza di punti dal dominio di definizione della funzione , non è uguale x0, e che converge al punto x 0 (lim x n = x0), la sequenza dei valori della funzione corrispondente converge al numero UN.

Il grafico di una funzione il cui limite, dato un argomento che tende all'infinito, è uguale a l:

Senso UNÈ limite (valore limite) della funzione f(x) al punto x0 in caso di qualsiasi sequenza di punti , che converge a x0, ma che non contiene x0 come uno dei suoi elementi (cioè nelle vicinanze forate x0), sequenza di valori di funzione converge a UN.

Limite di una funzione di Cauchy.

Senso UN sarà limite della funzione f(x) al punto x0 se per qualsiasi numero non negativo preso in anticipo ε verrà trovato il numero non negativo corrispondente δ = δ(ε) tale che per ogni argomento X, soddisfacendo la condizione 0 < | x - x0 | < δ , la disuguaglianza sarà soddisfatta | f(x)A |< ε .

Sarà molto semplice se capisci l'essenza del limite e le regole di base per trovarlo. Qual è il limite della funzione F (X) A X lottando per UN equivale UN, è scritto così:

Inoltre, il valore a cui tende la variabile X, può essere non solo un numero, ma anche infinito (∞), a volte +∞ o -∞, oppure potrebbe non esserci alcun limite.

Per capire come trovare i limiti di una funzione, è meglio guardare esempi di soluzioni.

È necessario trovare i limiti della funzione F (x) = 1/X A:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Troviamo una soluzione al primo limite. Per fare questo, puoi semplicemente sostituire X il numero a cui tende, cioè 2, otteniamo:

Troviamo il secondo limite della funzione. Qui sostituisci invece puro 0 Xè impossibile, perché Non puoi dividere per 0. Ma possiamo assumere valori prossimi allo zero, ad esempio 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 e così via, e il valore della funzione F (X) aumenterà: 100; 1000; 10000; 100.000 e così via. Quindi, si può capire che quando X→ 0 il valore della funzione che è sotto il segno limite aumenterà senza limite, cioè tendere all'infinito. Che significa:

Per quanto riguarda il terzo limite. La stessa situazione del caso precedente, è impossibile da sostituire ∞ nella sua forma più pura. Dobbiamo considerare il caso di aumento illimitato X. Sostituiamo 1000 uno per uno; 10000; 100000 e così via, abbiamo il valore della funzione F (x) = 1/X diminuirà: 0,001; 0,0001; 0,00001; e così via, tendendo a zero. Ecco perché:

È necessario calcolare il limite della funzione

Iniziando a risolvere il secondo esempio, vediamo l'incertezza. Da qui troviamo il grado più alto del numeratore e del denominatore: questo è x3, lo togliamo tra parentesi al numeratore e al denominatore e poi lo riduciamo di:

Risposta

Il primo passo avanti trovare questo limite, sostituire invece il valore 1 X, con conseguente incertezza. Per risolverlo, fattorizziamo il numeratore e facciamolo utilizzando il metodo per trovare le radici di un'equazione quadratica x2+2x-3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x2= 1.

Quindi il numeratore sarà:

Risposta

Questa è la definizione del suo valore specifico o di una certa area in cui cade la funzione, che è limitata dal limite.

Per risolvere i limiti, seguire le regole:

Avendo compreso l'essenza e l'essenziale regole per risolvere il limite, acquisirai una conoscenza di base su come risolverli.

Viene data la definizione di limite finito di una successione. Vengono discusse le proprietà correlate e la definizione equivalente. Si dà la definizione che il punto a non è il limite della successione. Vengono considerati esempi in cui l'esistenza di un limite è dimostrata utilizzando la definizione.

Contenuto

Guarda anche: Limite di successione – teoremi fondamentali e proprietà
Principali tipi di diseguaglianze e loro proprietà

Qui vedremo la definizione di limite finito di una successione. Il caso di una successione convergente all'infinito è discusso nella pagina “Definizione di una successione infinitamente grande”.

Il limite di una sequenza è un numero a se, per ogni numero positivo ε > 0 esiste un numero naturale N ε dipendente da ε tale che per tutti i numeri naturali n > N ε la disuguaglianza
| xn - un|< ε .
Qui x n è l'elemento della sequenza con il numero n. Limite di sequenza indicato come segue:
.
O a .

Trasformiamo la disuguaglianza:
;
;
.

ε - un intorno di un punto a - è un intervallo aperto (a - ε, a + ε). Una successione convergente è una successione che ha un limite. Si dice anche che la sequenza converge ad a. Una sequenza divergente è una sequenza che non ha limiti.

Dalla definizione segue che se una sequenza ha un limite a, allora non importa quale ε-intorno del punto a scegliamo, oltre i suoi limiti può esserci solo un numero finito di elementi della sequenza, o nessuno (un numero vuoto impostato). E ogni quartiere ε contiene un numero infinito di elementi. Infatti, dato un certo numero ε, abbiamo quindi il numero . Quindi tutti gli elementi della sequenza con numeri , per definizione, si trovano nell'intorno ε del punto a . I primi elementi possono essere posizionati ovunque. Cioè, al di fuori del quartiere ε non possono esserci più di elementi, cioè un numero finito.

Notiamo anche che la differenza non deve tendere monotonicamente a zero, cioè diminuire continuamente. Può tendere a zero in modo non monotono: può aumentare o diminuire, avendo massimi locali. Tuttavia questi massimi, al crescere di n, dovrebbero tendere a zero (possibilmente anche in modo non monotono).

Utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, la definizione di limite può essere scritta come segue:
(1) .

Determinare che a non è un limite

Consideriamo ora l'affermazione inversa secondo cui il numero a non è il limite della sequenza.

Numero a non è il limite della sequenza, se esiste tale che per ogni numero naturale n esiste un tale m naturale >n, Che cosa
.

Scriviamo questa affermazione utilizzando simboli logici.
(2) .

Dichiaralo il numero a non è il limite della sequenza, significa che
puoi scegliere un tale ε - intorno del punto a, al di fuori del quale ci sarà un numero infinito di elementi della sequenza.

Diamo un'occhiata a un esempio. Sia data una successione con un elemento comune
(3)
Ogni intorno di un punto contiene un numero infinito di elementi. Tuttavia questo punto non è il limite della sequenza, poiché ogni intorno del punto contiene anche un numero infinito di elementi. Prendiamo ε - un intorno di un punto con ε = 1 . Questo sarà l'intervallo (-1, +1) . Tutti gli elementi tranne il primo con n pari appartengono a questo intervallo. Ma tutti gli elementi con n dispari sono al di fuori di questo intervallo, poiché soddisfano la disuguaglianza x n > 2 . Poiché il numero di elementi dispari è infinito, ci sarà un numero infinito di elementi al di fuori dell'intorno scelto. Pertanto il punto non è il limite della sequenza.

Ora lo mostreremo, attenendoci rigorosamente all'affermazione (2). Il punto non è un limite della successione (3), poiché esiste tale che, per ogni n naturale, ce n'è uno dispari per il quale vale la disuguaglianza
.

Si può anche dimostrare che qualsiasi punto a non può essere limite di questa successione. Possiamo sempre scegliere un ε - intorno del punto a che non contenga né il punto 0 né il punto 2. E quindi al di fuori dell'intorno scelto ci saranno un numero infinito di elementi della sequenza.

Definizione equivalente di limite di sequenza

Possiamo dare una definizione equivalente del limite di una successione se espandiamo il concetto di ε - intorno. Otterremo una definizione equivalente se, invece di un ε-intorno, contiene un qualsiasi intorno del punto a. Un intorno di un punto è qualsiasi intervallo aperto che contiene quel punto. Matematicamente intorno di un puntoè definito come segue: , dove ε 1 ed ε 2 - numeri positivi arbitrari.

Allora la definizione equivalente di limite è la seguente.

Il limite di una successione è un numero a se per ogni suo intorno esiste un numero naturale N tale che tutti gli elementi della successione con numeri appartengono a questo intorno.

Questa definizione può essere presentata anche in forma estesa.

Il limite di una sequenza è un numero a se per qualsiasi numero positivo ed esiste un numero naturale N dipendente da e tale che le disuguaglianze valgano per tutti i numeri naturali
.

Prova dell'equivalenza delle definizioni

Dimostriamo che le due definizioni di limite di una successione presentate sopra sono equivalenti.

Sia il numero a il limite della successione secondo la prima definizione. Ciò significa che esiste una funzione tale che per ogni numero positivo ε sono soddisfatte le seguenti disuguaglianze:
(4) A .

Mostriamo che il numero a è il limite della successione secondo la seconda definizione. Cioè dobbiamo dimostrare che esiste una funzione tale che per ogni numero positivo ε 1 ed ε 2 sono soddisfatte le seguenti disuguaglianze:
(5) A .

Prendiamo due numeri positivi: ε 1 ed ε 2 . E sia ε il più piccolo di essi: . Poi ; ; . Usiamolo in (5):
.
Ma le disuguaglianze sono soddisfatte per . Allora sono soddisfatte anche le disuguaglianze (5) per .

Cioè, abbiamo trovato una funzione per la quale le disuguaglianze (5) sono soddisfatte per qualsiasi numero positivo ε 1 ed ε 2 .
La prima parte è stata dimostrata.

Sia ora il numero a il limite della successione secondo la seconda definizione. Ciò significa che esiste una funzione tale che per ogni numero positivo ε 1 ed ε 2 sono soddisfatte le seguenti disuguaglianze:
(5) A .

Mostriamo che il numero a è il limite della successione secondo la prima definizione. Per fare questo devi mettere . Allora quando valgono le seguenti disuguaglianze:
.
Ciò corrisponde alla prima definizione con .
L'equivalenza delle definizioni è stata dimostrata.

Esempi

Esempio 1

Prova che .

(1) .
Nel nostro caso ;
.

.
Usiamo le proprietà delle disuguaglianze. Quindi se e , allora
.

.
Poi
A .
Ciò significa che il numero è il limite della sequenza data:
.

Esempio 2

Utilizzando la definizione di limite di una successione, dimostralo
.

Scriviamo la definizione di limite di una successione:
(1) .
Nel nostro caso , ;
.

Inserisci numeri positivi e:
.
Usiamo le proprietà delle disuguaglianze. Quindi se e , allora
.

Cioè, per ogni positivo, possiamo prendere qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a:
.
Poi
A .
.

Esempio 3

.

Introduciamo la notazione , .
Trasformiamo la differenza:
.
Per naturale n = 1, 2, 3, ... abbiamo:
.

Scriviamo la definizione di limite di una successione:
(1) .
Inserisci numeri positivi e:
.
Quindi se e , allora
.

Cioè, per ogni positivo, possiamo prendere qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a:
.
In cui
A .
Ciò significa che il numero è il limite della sequenza:
.

Esempio 4

Utilizzando la definizione di limite di una successione, dimostralo
.

Scriviamo la definizione di limite di una successione:
(1) .
Nel nostro caso , ;
.

Inserisci numeri positivi e:
.
Quindi se e , allora
.

Cioè, per ogni positivo, possiamo prendere qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a:
.
Poi
A .
Ciò significa che il numero è il limite della sequenza:
.

Riferimenti:
L.D. Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.
CM. Nikolsky. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.

Guarda anche:

Vengono fornite le definizioni del limite di una funzione secondo Heine (tramite successioni) e secondo Cauchy (tramite intorni epsilon e delta). Vengono fornite le definizioni forma universale, applicabile sia per limiti bidirezionali che unidirezionali in punti finiti e infiniti. Si considera la definizione che il punto a non è limite di una funzione. Dimostrazione dell'equivalenza delle definizioni di Heine e Cauchy.

Contenuto

Guarda anche: Intorno di un punto
Determinazione del limite di una funzione in un punto finale
Determinazione del limite di una funzione all'infinito

Prima definizione di limite di una funzione (secondo Heine)

(X) al punto x 0 :
,
Se
1) esiste un intorno così forato del punto x 0
2) per qualsiasi sequenza (xn), convergente a x 0 :
, i cui elementi appartengono al quartiere,
sotto sequenza (f(xn)) converge a:
.

Qui x 0 e a può essere numeri finiti o punti all'infinito. Il quartiere può essere bilaterale o unilaterale.

.

Seconda definizione di limite di una funzione (secondo Cauchy)

Il numero a è chiamato limite della funzione f (X) al punto x 0 :
,
Se
1) esiste un intorno così forato del punto x 0 , su cui è definita la funzione;
2) per qualsiasi numero positivo ε > 0 esiste un tale numero δ ε > 0 , dipendente da ε, quello per tutti gli x appartenenti all'intorno δ ε perforato del punto x 0 :
,
valori della funzione f (X) appartengono all'intorno ε del punto a:
.

Punti x 0 e a può essere numeri finiti o punti all'infinito. Il quartiere può anche essere bilaterale o unilaterale.

Scriviamo questa definizione utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità:
.

Questa definizione utilizza quartieri con estremità equidistanti. Una definizione equivalente può essere data utilizzando intorni arbitrari di punti.

Definizione utilizzando intorni arbitrari
Il numero a è chiamato limite della funzione f (X) al punto x 0 :
,
Se
1) esiste un intorno così forato del punto x 0 , su cui è definita la funzione;
2) per qualsiasi quartiere U (UN) del punto a esiste un intorno perforato del punto x 0 quello per tutti gli x appartenenti all'intorno forato del punto x 0 :
,
valori della funzione f (X) appartengono al quartiere U (UN) punti a:
.

Utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, questa definizione può essere scritta come segue:
.

Limiti unilaterali e bilaterali

Le definizioni di cui sopra sono universali nel senso che possono essere utilizzate per qualsiasi tipo di quartiere. Se utilizziamo come intorno forato del lato sinistro il punto finale, otteniamo la definizione di limite del lato sinistro. Se utilizziamo come intorno l'intorno di un punto all'infinito, otteniamo la definizione di limite all'infinito.

Per determinare il limite di Heine, ciò si riduce al fatto che si impone un'ulteriore restrizione su una sequenza arbitraria convergente a: i suoi elementi devono appartenere al corrispondente intorno forato del punto .

Per determinare il limite di Cauchy è necessario in ogni caso trasformare le espressioni e in disuguaglianze, utilizzando le opportune definizioni dell'intorno di un punto.
Vedi "Intorno di un punto".

Determinare che il punto a non è il limite di una funzione

Spesso diventa necessario utilizzare la condizione che il punto a non sia il limite della funzione in . Costruiamo le negazioni delle definizioni di cui sopra. In essi assumiamo che la funzione f (X)è definito su un intorno forato del punto x 0 . Punti a e x 0 possono essere numeri finiti o infinitamente distanti. Tutto quanto riportato di seguito vale sia per i limiti bilaterali che per quelli unilaterali.

Secondo Heine.
Numero a non è limite della funzione f (X) al punto x 0 : ,
se esiste una tale sequenza (xn), convergente a x 0 :
,
i cui elementi appartengono al quartiere,
qual è la sequenza (f(xn)) non converge a a:
.
.

Secondo Cauchy.
Numero a non è limite della funzione f (X) al punto x 0 :
,
se esiste un numero così positivo ε > 0 , quindi per qualsiasi numero positivo δ > 0 , esiste una x che appartiene al quartiere δ perforato del punto x 0 :
,
che il valore della funzione f (X) non appartiene all'ε-intorno del punto a:
.
.

Naturalmente, se il punto a non è limite di una funzione in , ciò non significa che essa non possa avere limite. Potrebbe esserci un limite, ma non è uguale a a. È anche possibile che la funzione sia definita in un intorno forato del punto , ma non abbia limiti in .

Funzione f(x) = peccato(1/x) non ha limiti per x → 0.

Ad esempio, una funzione è definita in , ma non esiste alcun limite. Per dimostrarlo, prendiamo la sequenza . Converge in un punto 0 : . Perché allora .
Prendiamo la sequenza. Converge anche al punto 0 : . Ma da allora.
Allora il limite non può essere uguale a nessun numero a. Infatti, per , esiste una sequenza con la quale . Pertanto, qualsiasi numero diverso da zero non è un limite. Ma non è nemmeno un limite, poiché esiste una sequenza con cui .

Equivalenza delle definizioni di Heine e Cauchy del limite

Teorema
Le definizioni di Heine e Cauchy del limite di una funzione sono equivalenti.

Prova

Nella dimostrazione, assumiamo che la funzione sia definita in un intorno forato di un punto (finito o all'infinito). Il punto a può anche essere finito o all'infinito.

Dimostrazione di Heine ⇒ Dimostrazione di Cauchy

Sia la funzione ad avere limite a in un punto secondo la prima definizione (secondo Heine). Cioè per qualsiasi successione appartenente a un intorno punteggiato di un punto e avente un limite
(1) ,
il limite della sequenza è a:
(2) .

Mostriamo che la funzione ha limite di Cauchy in un punto. Cioè, per tutti c'è qualcosa che è per tutti.

Supponiamo il contrario. Siano soddisfatte le condizioni (1) e (2), ma la funzione non ha limite di Cauchy. Cioè c'è qualcosa che esiste per chiunque, quindi
.

Prendiamo , dove n è un numero naturale. Allora esiste , e
.
Abbiamo quindi costruito una successione convergente a , ma il limite della successione non è uguale ad a . Ciò contraddice le condizioni del teorema.

La prima parte è stata dimostrata.

Dimostrazione di Cauchy ⇒ Dimostrazione di Heine

Sia la funzione ad avere limite a in un punto secondo la seconda definizione (secondo Cauchy). Cioè, per chiunque esiste quello
(3) per tutti .

Mostriamo che la funzione ha limite a in un punto secondo Heine.
Prendiamo un numero arbitrario. Secondo la definizione di Cauchy, il numero esiste, quindi vale la (3).

Prendiamo una sequenza arbitraria appartenente all'intorno forato e convergente a . Per definizione di sequenza convergente, per qualsiasi esiste quella
A .
Quindi da (3) segue che
A .
Visto che questo vale per chiunque, allora
.

Il teorema è stato dimostrato.

Riferimenti:
L.D. Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.

Guarda anche:

Cominciamo con cose generali che sono MOLTO importanti, ma poche persone prestano loro attenzione.

Limite di una funzione - concetti base.

Infinito significa simbolo Essenzialmente, l'infinito è un numero positivo infinitamente grande o un numero negativo infinitamente grande.

Cosa significa: quando vedi , non fa differenza se è o . Ma è meglio non sostituire con , così come è meglio non sostituire con .

Scrivere il limite di una funzione f(x) preso come, di seguito è indicato l'argomento x e, tramite una freccia, quale valore si punta.

Se si tratta di un numero reale specifico, allora parliamo di limite della funzione nel punto.

Io per . poi ne parlano limite di una funzione all'infinito.

Il limite stesso può essere uguale ad uno specifico numero reale, nel qual caso si dice così il limite è finito.

Se , O , poi lo dicono il limite è infinito.

Lo dicono anche non c'è limite, se è impossibile determinare un valore specifico del limite o il suo valore infinito (, o). Ad esempio, non esiste alcun limite al seno all'infinito.

Limite di una funzione: definizioni fondamentali.

È ora di darsi da fare trovare i valori dei limiti della funzione all'infinito e in un punto. Diverse definizioni ci aiuteranno in questo. Queste definizioni si basano su sequenze numeriche e loro convergenza o divergenza.

Definizione(trovare il limite di una funzione all'infinito).

Il numero A è chiamato limite della funzione f(x) in , se per qualsiasi sequenza infinitamente grande di argomenti di funzione (infinitamente grande positiva o negativa), la sequenza di valori di questa funzione converge ad A. Denotato da .

Commento.

Il limite di una funzione f(x) at è infinito se per qualsiasi sequenza infinitamente grande di argomenti di funzione (infinitamente grande positiva o negativa), la sequenza di valori di questa funzione è infinitamente positiva o infinitamente negativa. Denotato da .

Esempio.

Usando la definizione del limite a, dimostrare l'uguaglianza.

Soluzione.

Scriviamo la sequenza dei valori della funzione per una sequenza positiva infinitamente grande di valori degli argomenti.

È ovvio che i termini di questa successione decrescono monotonicamente verso lo zero.

Illustrazione grafica.

Ora scriviamo la sequenza dei valori della funzione per una sequenza negativa infinita di valori degli argomenti.

Anche i termini di questa successione decrescono monotonicamente verso lo zero, il che dimostra l'uguaglianza originaria.

Illustrazione grafica.

Esempio.

Trova il limite

Soluzione.

Scriviamo la sequenza dei valori della funzione per una sequenza positiva infinitamente grande di valori degli argomenti. Ad esempio, prendiamo .

La sequenza dei valori della funzione sarà (punti blu sul grafico)

Ovviamente, questa sequenza è infinitamente grande positiva, quindi,

Ora scriviamo la sequenza dei valori della funzione per una sequenza negativa infinita di valori degli argomenti. Ad esempio, prendiamo .

La sequenza dei valori della funzione sarà (punti verdi sul grafico)

Ovviamente questa successione converge a zero, quindi,

Illustrazione grafica

Risposta:

Parliamo ora dell'esistenza e della determinazione del limite di una funzione in un punto. Tutto è basato su definire limiti unilaterali. Non si può fare a meno di calcolare i limiti unilaterali quando .

Definizione(trovare il limite di una funzione a sinistra).

Il numero B è chiamato limite della funzione f(x) a sinistra in , se per qualsiasi sequenza di argomenti di funzione convergenti ad a, i cui valori rimangono inferiori a a (), la sequenza di valori di questa funzione converge a B.

Designato .

Definizione(trovare il limite di una funzione a destra).

Il numero B è chiamato limite della funzione f(x) a destra in , se per qualsiasi sequenza di argomenti di funzione convergenti ad a, i cui valori rimangono maggiori di a (), la sequenza di valori di questa funzione converge a B.

Designato .

Definizione(esistenza di un limite di una funzione in un punto).

Il limite della funzione f(x) nel punto a esiste se ci sono limiti a sinistra e a destra di a e sono uguali tra loro.

Commento.

Il limite della funzione f(x) nel punto a è infinito se i limiti a sinistra e a destra di a sono infiniti.

Spieghiamo queste definizioni con un esempio.

Esempio.

Dimostrare l'esistenza di un limite finito di una funzione al punto . Trova il suo valore.

Soluzione.

Inizieremo dalla definizione dell'esistenza di un limite di una funzione in un punto.

Innanzitutto mostriamo l’esistenza di un limite a sinistra. Per fare ciò, prendi una sequenza di argomenti convergenti a , e . Un esempio di tale sequenza sarebbe

Nella figura i valori corrispondenti sono indicati come punti verdi.

È facile vedere che questa sequenza converge a -2, quindi .

In secondo luogo, mostriamo l’esistenza di un limite a destra. Per fare ciò, prendi una sequenza di argomenti convergenti a , e . Un esempio di tale sequenza sarebbe

Apparirà la sequenza corrispondente di valori di funzione

Nella figura i valori corrispondenti sono indicati come punti blu.

È facile vedere che anche questa sequenza converge a -2, quindi .

Con ciò abbiamo dimostrato che i limiti a sinistra e a destra sono uguali, quindi, per definizione, esiste un limite della funzione al punto , e

Illustrazione grafica.

Ti consigliamo di continuare lo studio delle definizioni di base della teoria dei limiti con l'argomento.