Area di un parallelogramma. Risoluzione di problemi di geometria: risoluzione di quadrilateri Problemi nel trovare l'area di un parallelogramma

Teorema 1. L'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle sue basi per la sua altezza:

Teorema 2. Le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli, due dei quali sono simili e gli altri due hanno la stessa area:

Teorema 3. L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della base per l'altezza abbassata da una base data, oppure al prodotto di due lati e al seno dell'angolo compreso tra loro:

Teorema 4. In un parallelogramma la somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati:

Teorema 5. L'area di un quadrilatero convesso arbitrario è uguale alla metà del prodotto delle sue diagonali e del seno dell'angolo compreso tra loro:

Teorema 6. L'area di un quadrilatero circoscritto ad un cerchio è uguale al prodotto del semiperimetro di questo quadrilatero per il raggio del cerchio dato:

Teorema 7. Un quadrilatero i cui vertici sono i punti medi dei lati di un quadrilatero convesso arbitrario è un parallelogramma la cui area è uguale alla metà dell'area del quadrilatero originale:

Teorema 8. Se un quadrilatero convesso ha le diagonali mutuamente perpendicolari, allora la somma dei quadrati dei lati opposti di questo quadrilatero è uguale:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

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Dimostrazioni di alcuni teoremi

Dimostrazione del Teorema 2. Sia ABCD un trapezio dato, AD e BC le sue basi, O il punto di intersezione delle diagonali AC e BD di questo trapezio. Dimostriamo che i triangoli AOB e COD hanno la stessa area. Per fare ciò, abbassa le perpendicolari BP e CQ dai punti B e C alla linea AD. Quindi l'area del triangolo ABD è

E l'area del triangolo ACD lo è

Poiché BP = CQ, allora S∆ABD = S∆ACD. Ma l'area del triangolo AOB è la differenza tra le aree dei triangoli ABD e AOD, e l'area del triangolo COD è la differenza tra le aree dei triangoli ACD e AOD. Pertanto le aree dei triangoli AOB e COD sono uguali, ed è ciò che occorreva dimostrare.

Dimostrazione del Teorema 4. Sia ABCD un parallelogramma, AB = CD = UN, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Applichiamo il teorema del coseno al triangolo ABD:

Applicando ora il teorema del coseno al triangolo ACD, otteniamo:

Sommando le uguaglianze risultanti termine per termine, otteniamo ciò Q.E.D.

Dimostrazione del Teorema 5. Sia ABCD un quadrilatero convesso arbitrario, E il punto di intersezione delle sue diagonali, AE = UN, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Abbiamo:

Q.E.D.

Dimostrazione del Teorema 6. Sia ABCD un quadrilatero arbitrario circoscritto ad un cerchio, O il centro di questo cerchio, OK, OL, OM e ON le perpendicolari tracciate dal punto O sulle linee AB, BC, CD e AD, rispettivamente. Abbiamo:

dove r è il raggio del cerchio e p è il semiperimetro del quadrilatero ABCD.

Dimostrazione del Teorema 7. Sia ABCD un quadrilatero convesso arbitrario, K, L, M e N i punti medi dei lati AB, BC, CD e AD, rispettivamente. Poiché KL è la linea mediana del triangolo ABC, la linea KL è parallela alla linea AC e, analogamente, la linea MN è parallela alla linea AC e pertanto KLMN è un parallelogramma. Consideriamo il triangolo KBL. La sua area è pari a un quarto dell'area del triangolo ABC. Anche l'area del triangolo MDN è pari a un quarto dell'area del triangolo ACD. Quindi,

Allo stesso modo,

Significa che

dove lo segue?

Dimostrazione del Teorema 8. Sia ABCD un quadrilatero convesso arbitrario le cui diagonali sono mutuamente perpendicolari, sia E il punto di intersezione delle sue diagonali,
AE = UN, BE = b, CE = c, DE = d. Applichiamo il teorema di Pitagora ai triangoli ABE e CDE:
AB2 = AE2 + BE2 = UN 2+b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
quindi,
AB2 + CD2 = UN 2 + b2 + c2 + d2 .
Applicando ora il teorema di Pitagora ai triangoli ADE e BCE, otteniamo:
AD2 = AE2 + DE2 = UN 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
dove lo segue?
AD2 + BC2 = UN 2 + b2 + c2 + d2 .
Ciò significa AB2 + CD2 = AD2 + BC2, che è ciò che doveva essere dimostrato.

Soluzioni ai problemi

Problema 1. Attorno alla circonferenza è descritto un trapezio con gli angoli alla base α e β. Trova il rapporto tra l'area del trapezio e l'area del cerchio.

Soluzione. Sia ABCD un trapezio dato, AB e CD le sue basi, DK e CM le perpendicolari tracciate dai punti C e D alla linea AB. Il rapporto richiesto non dipende dal raggio del cerchio. Pertanto, assumeremo che il raggio sia 1. Quindi l'area del cerchio è uguale a π, troviamo l'area del trapezio. Poiché il triangolo ADK è rettangolo, allora

Allo stesso modo, dal triangolo rettangolo BCM troviamo che Poiché un cerchio può essere inscritto in un dato trapezio, le somme dei lati opposti sono uguali:
AB + CD = AD + BC,
da dove lo troviamo?

Quindi l'area del trapezio è

e il rapporto richiesto è uguale a
Risposta:

Problema 2. In un quadrilatero convesso ABCD l'angolo A è uguale a 90° e l'angolo C non supera i 90°. Dai vertici B e D si lasciano cadere sulla diagonale AC le perpendicolari BE e DF. È noto che AE = CF. Dimostrare che l'angolo C è retto.

Prova. Poiché l'angolo A è 90°,
e l'angolo C non supera i 90°, allora i punti E e F giacciono sulla diagonale AC. Senza perdita di generalità, possiamo supporre che AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Ci basta dimostrare che α + β + γ + δ = π. Perché

da dove ricaviamo che ciò che era necessario dimostrare.

Problema 3. Il perimetro di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza è pari a p. Trova il raggio di questo cerchio se lo conosci angolo acuto alla base del trapezio è uguale ad α.
Soluzione. Sia ABCD un dato trapezio isoscele di basi AD e BC, sia BH l'altezza di questo trapezio lasciato cadere dal vertice B.
Poiché in un dato trapezio è possibile inscrivere una circonferenza, allora

Quindi,

Dal triangolo rettangolo ABH troviamo,

Risposta:

Problema 4. Dato un trapezio ABCD con basi AD e BC. Le diagonali AC e BD si intersecano nel punto O, e le linee AB e CD si intersecano nel punto K. La linea KO interseca i lati BC e AD nei punti M e N, rispettivamente, e l'angolo BAD è 30°. È noto che nel trapezio ABMN e NMCD è possibile inscrivere un cerchio. Trova il rapporto tra le aree del triangolo BKC e del trapezio ABCD.

Soluzione. Come è noto, per un trapezio arbitrario, una linea retta che collega il punto di intersezione delle diagonali e il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati laterali divide ciascuna delle basi a metà. Quindi BM = MC e AN = ND. Inoltre, poiché un cerchio può essere inscritto nel trapezio ABMN e NMCD, allora
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Ne consegue che AB = CD, cioè il trapezio ABCD è isoscele. Il rapporto tra le aree richieste non dipende dalla scala, quindi possiamo assumere che KN = x, KM = 1. Dai triangoli rettangoli AKN e BKM otteniamo che Riscrivendo la relazione già usata sopra
BM + AN = AB + MN ⇔

Dobbiamo calcolare il rapporto:

Qui abbiamo utilizzato il fatto che le aree dei triangoli AKD e BKC sono correlate come i quadrati dei lati KN e KM, cioè come x2.

Risposta:

Compito 5. In un quadrilatero convesso ABCD, i punti E, F, H, G sono i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA, rispettivamente, e O è il punto di intersezione dei segmenti EH e FG. È noto che EH = UN, FG = b, Trova le lunghezze delle diagonali del quadrilatero.

Soluzione. È noto che se colleghi in serie i punti medi dei lati di un quadrilatero arbitrario, ottieni un parallelogramma. Nel nostro caso, EFHG è un parallelogramma e O è il punto di intersezione delle sue diagonali. Poi

Applichiamo il teorema del coseno al triangolo FOH:

Poiché FH è la linea mediana del triangolo BCD, allora

Allo stesso modo, applicando il teorema del coseno al triangolo EFO, otteniamo ciò

Risposta:

Compito 6. I lati laterali di un trapezio sono 3 e 5. È noto che in un trapezio è possibile inscrivere un cerchio. La linea mediana di un trapezio lo divide in due parti, il rapporto tra le loro aree è uguale a Trova le basi del trapezio.

Soluzione. Sia ABCD un dato trapezio, AB = 3 e CD = 5 i suoi lati laterali, i punti K e M i punti medi dei lati AB e CD, rispettivamente. Supponiamo, per chiarezza, AD > BC, quindi l'area del trapezio AKMD sarà più area trapezi KBCM. Poiché KM è la linea mediana del trapezio ABCD, i trapezi AKMD e KBCM hanno la stessa altezza. Poiché l'area di un trapezio è uguale al prodotto della metà della somma delle basi e dell'altezza, vale la seguente uguaglianza:

Inoltre, poiché un cerchio può essere inscritto nel trapezio ABCD, allora AD + BC = AB + CD = 8. Quindi KM = 4 come linea mediana del trapezio ABCD. Sia BC = x, quindi AD = 8 – x. Abbiamo:
Quindi BC = 1 e AD = 7.

Risposta: 1 e 7.

Problema 7. La base AB del trapezio ABCD è lunga il doppio della base CD e il doppio del lato AD. La lunghezza della diagonale AC è UN, e la lunghezza del lato BC è pari a b. Trova l'area del trapezio.

Soluzione. Sia E il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati laterali del trapezio e CD = x, allora AD = x, AB = 2x. Il segmento CD è parallelo al segmento AB ed è lungo la metà, il che significa che CD è la linea mediana del triangolo ABE. Pertanto CE = BC = b e DE = AD = x, quindi AE = 2x. Quindi il triangolo ABE è isoscele (AB = AE) e AC è la sua mediana. Pertanto AC è anche l'altezza di questo triangolo, il che significa

Poiché il triangolo DEC è simile al triangolo AEB con coefficiente di somiglianza allora

Risposta:

Problema 8. Le diagonali del trapezio ABCD si intersecano nel punto E. Trova l'area del triangolo BCE se le lunghezze delle basi del trapezio sono AB = 30, DC = 24, i lati AD = 3 e l'angolo DAB è 60° .

Soluzione. Sia DH l'altezza del trapezio. Dal triangolo ADH lo troviamo

Poiché l'altezza del triangolo ABC sceso dal vertice C è uguale all'altezza DH del trapezio, abbiamo:

Risposta:

Problema 9. In un trapezio la linea mediana è 4 e gli angoli di una delle basi sono 40° e 50°. Trova le basi del trapezio se il segmento che collega i punti medi delle basi è uguale a 1.

Soluzione. Sia ABCD un trapezio dato, AB e CD le sue basi (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Prolunga i lati DA e CB fino all'intersezione nel punto E. Considera il triangolo ABE, in cui ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
quindi, ∠AEB = 90°. La mediana EM di questo triangolo, tracciato dal vertice dell'angolo retto, è pari alla metà dell'ipotenusa: EM = AM. Sia EM = x, quindi AM = x, DN = 4 – x. Secondo la condizione del problema MN = 1, quindi,
EN = x + 1. Dalla somiglianza dei triangoli AEM e DEN abbiamo:

Ciò significa AB = 3 e CD = 5.

Risposta: 3 e 5.

Problema 10. Il quadrilatero convesso ABCD è circoscritto ad una circonferenza con centro nel punto O, con AO = OC = 1, BO = OD = 2. Trova il perimetro del quadrilatero ABCD.

Soluzione. Siano K, L, M, N i punti tangenti del cerchio avente i lati AB, BC, CD, DA, rispettivamente, e r il raggio del cerchio. Poiché la tangente ad un cerchio è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di tangenza, i triangoli AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO sono rettangolari. Applicando il teorema di Pitagora a questi triangoli, otteniamo questo

Pertanto AB = BC = CD = DA, cioè ABCD è un rombo. Le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari e il punto della loro intersezione è il centro della circonferenza inscritta. Da qui troviamo facilmente che il lato del rombo è uguale e quindi il perimetro del rombo è uguale a

Risposta:

Problemi da risolvere in autonomia

S-1. Un trapezio equilatero ABCD è circoscritto ad una circonferenza di raggio r. Siano E e K i punti di tangenza di questa circonferenza con i lati del trapezio. L'angolo formato dalla base AB e dal lato AD del trapezio è 60°. Dimostra che EK è parallelo ad AB e trova l'area del trapezio ABEK.
S-2. In un trapezio, le diagonali sono 3 e 5 e il segmento che collega i punti medi delle basi è 2. Trova l'area del trapezio.
S-3. È possibile descrivere una circonferenza attorno ad un quadrilatero ABCD se ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
S-4. Nel trapezio ABCD (AB è la base), i valori degli angoli DAB, BCD, ADC, ABD e ADB formano una progressione aritmetica (nell'ordine in cui sono scritti). Trova la distanza dal vertice C alla diagonale BD se l'altezza del trapezio è h.
S-5. Dato un trapezio isoscele in cui è inscritto un cerchio e attorno al quale è circoscritto il cerchio. Il rapporto tra l'altezza di un trapezio e il raggio del cerchio circoscritto è Trova gli angoli del trapezio.
S-6. L'area del rettangolo ABCD è 48 e la lunghezza della diagonale è 10. Sul piano in cui si trova il rettangolo, viene scelto un punto O in modo che OB = OD = 13. Trova la distanza dal punto O al vertice del rettangolo più lontano da esso.
S-7. Il perimetro del parallelogramma ABCD è 26. L'angolo ABC è 120°. Il raggio del cerchio inscritto nel triangolo BCD è Trova le lunghezze dei lati del parallelogramma se è noto che AD > AB.
S-8. Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza con centro nel punto O. Il raggio OA è perpendicolare al raggio OB, e il raggio OC è perpendicolare al raggio OD. La lunghezza della perpendicolare tracciata dal punto C alla linea AD è pari a 9. La lunghezza del segmento BC è la metà della lunghezza del segmento AD. Trova l'area del triangolo AOB.
S-9. In un quadrilatero convesso ABCD, i vertici A e C sono opposti e la lunghezza del lato AB è 3. L'angolo ABC è uguale all'angolo BCD è uguale a Trova la lunghezza del lato AD se sai che l'area del quadrilatero è

S-10. In un quadrilatero convesso ABCD si tracciano le diagonali AC e BD. È risaputo che
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90° e la distanza tra il punto di intersezione della bisettrice del triangolo ABD e il punto di intersezione della bisettrice del triangolo ACD è Trova la lunghezza del lato BC.
S-11. Sia M il punto di intersezione delle diagonali di un quadrilatero convesso ABCD, in cui i lati AB, AD e BC sono uguali. Trovare l'angolo CMD se è noto che DM = MC,
e ∠CAB ≠ ∠DBA.
S-12. Nel quadrilatero ABCD sappiamo che ∠A = 74°, ∠D = 120°. Trova l'angolo formato dalle bisettrici degli angoli B e C.
S-13. Una circonferenza può essere inscritta in un quadrilatero ABCD. Sia K il punto di intersezione delle sue diagonali. È noto che AB > BC > KC e che il perimetro e l'area del triangolo BKC sono rispettivamente 14 e 7. Trova DC.
S-14. In un trapezio circoscritto ad una circonferenza si sa che BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Trova AB se l'area del trapezio ABCD è 10.
S-15. Nel trapezio ABCD con basi AB e CD si sa che ∠CAB = 2∠DBA. Trova l'area del trapezio.
S-16. Nel parallelogramma ABCD è noto che AC = UN, ∠CAB = 60°. Trova l'area del parallelogramma.
S-17. Nel quadrilatero ABCD, le diagonali AC e BD si intersecano nel punto K. I punti L e M sono rispettivamente i punti medi dei lati BC e AD. Il segmento LM contiene il punto K. Il quadrilatero ABCD è tale che in esso è inscrivibile un cerchio. Trova il raggio di questo cerchio se AB = 3 e LK: KM = 1: 3.
S-18. In un quadrilatero convesso ABCD si tracciano le diagonali AC e BD. In questo caso ∠BAC =
= ∠BDC, e l'area del cerchio circoscritto al triangolo BDC è uguale a
a) Trovare il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC.
b) Sapendo che BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, determinare l'area del quadrilatero ABCD.

Quando si risolvono problemi su questo argomento, eccetto proprietà di base parallelogramma e le formule corrispondenti, puoi ricordare e applicare quanto segue:

1. La bisettrice dell'angolo interno di un parallelogramma taglia da esso un triangolo isoscele
2. Le bisettrici degli angoli interni adiacenti ad uno dei lati di un parallelogramma sono mutuamente perpendicolari
3. Le bisettrici provenienti da angoli interni opposti di un parallelogramma sono parallele tra loro o giacciono sulla stessa retta
4. La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati
5. L'area di un parallelogramma è uguale alla metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro

Consideriamo i problemi in cui vengono utilizzate queste proprietà.

Compito 1.

La bisettrice dell'angolo C del parallelogramma ABCD interseca il lato AD nel punto M e la continuazione del lato AB oltre il punto A nel punto E. Trova il perimetro del parallelogramma se AE = 4, DM = 3.

Soluzione.

1. Il triangolo CMD è isoscele. (Proprietà 1). Pertanto CD = MD = 3 cm.

2. Il triangolo EAM è isoscele.
Pertanto AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetro ABCD = 20 cm.

Risposta. 20cm.

Compito 2.

Le diagonali sono disegnate in un quadrilatero convesso ABCD. È noto che le aree dei triangoli ABD, ACD, BCD sono uguali. Dimostrare che questo quadrilatero è un parallelogramma.

Soluzione.

1. Sia BE l'altezza del triangolo ABD, CF l'altezza del triangolo ACD. Poiché, secondo le condizioni del problema, le aree dei triangoli sono uguali e hanno una base comune AD, allora le altezze di questi triangoli sono uguali. ESSERE = CF.

2. BE, CF sono perpendicolari ad AD. I punti B e C si trovano dalla stessa parte rispetto alla retta AD. ESSERE = CF. Pertanto la retta BC || ANNO DOMINI. (*)

3. Sia AL l'altezza del triangolo ACD, BK l'altezza del triangolo BCD. Poiché, secondo le condizioni del problema, le aree dei triangoli sono uguali e hanno una base comune CD, allora le altezze di questi triangoli sono uguali. AL = BK.

4. AL e BK sono perpendicolari a CD. I punti B e A si trovano dalla stessa parte rispetto alla retta CD. AL = BK. Pertanto la retta AB || CD (**)

5. Dalle condizioni (*), (**) segue che ABCD è un parallelogramma.

Risposta. Comprovato. ABCD è un parallelogramma.

Compito 3.

Sui lati BC e CD del parallelogramma ABCD sono segnati rispettivamente i punti M e H, in modo che i segmenti BM e HD si intersecano nel punto O;<ВМD = 95 о,

Soluzione.

1. Nel triangolo DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. In un triangolo rettangolo DHC
(

Poi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Poiché in un triangolo rettangolo il cateto opposto all'angolo di 30° è pari alla metà dell'ipotenusa).

Ma CD = AB. Quindi AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Risposta: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Compito 4.

Di un parallelogramma lungo 4√6 una delle diagonali forma un angolo di 60° con la base, e la seconda diagonale forma un angolo di 45° con la stessa base. Trova la seconda diagonale.

Soluzione.

1. AO = 2√6.

2. Applichiamo il teorema del seno al triangolo AOD.

AO/sen D = OD/sen A.

2√6/sen 45 o = DE/sen 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Risposta: 12.

Compito 5.

Per un parallelogramma con i lati 5√2 e 7√2, l'angolo minore tra le diagonali è uguale all'angolo minore del parallelogramma. Trova la somma delle lunghezze delle diagonali.

Soluzione.

Siano d 1, d 2 le diagonali del parallelogramma e l'angolo tra le diagonali e l'angolo minore del parallelogramma è uguale a φ.

1. Contiamo due diversi
modi la sua area.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Otteniamo l'uguaglianza 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Usando la relazione tra i lati e le diagonali di un parallelogramma, scriviamo l'uguaglianza

(AB2 + AD2) 2 = AC2 + BD2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d12 + d22 = 296.

3. Creiamo un sistema:

(d12 + d22 = 296,
(d1 + d2 = 140.

Moltiplichiamo la seconda equazione del sistema per 2 e aggiungiamola alla prima.

Otteniamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Quindi Id 1 + d 2 I = 24.

Poiché d 1, d 2 sono le lunghezze delle diagonali del parallelogramma, allora d 1 + d 2 = 24.

Risposta: 24.

Compito 6.

I lati del parallelogramma sono 4 e 6. L'angolo acuto tra le diagonali è di 45 gradi. Trova l'area del parallelogramma.

Soluzione.

1. Dal triangolo AOB, utilizzando il teorema del coseno, scriviamo la relazione tra il lato del parallelogramma e le diagonali.

AB2 = AO2 + VO22 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Allo stesso modo, scriviamo la relazione per il triangolo AOD.

Teniamone conto<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Otteniamo l'equazione d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Abbiamo un sistema
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Sottraendo la prima dalla seconda equazione otteniamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 ovvero

d1d2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Nota: In questo e nel problema precedente non è necessario risolvere completamente il sistema, anticipando che in questo problema abbiamo bisogno del prodotto delle diagonali per calcolare l'area.

Risposta: 10.

Compito 7.

L'area del parallelogramma è 96 e i suoi lati sono 8 e 15. Trova il quadrato della diagonale minore.

Soluzione.

1. S ABCD = AB · AD · peccato ВAD. Facciamo una sostituzione nella formula.

Otteniamo 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Quindi peccato ВAD = 4/5.

2. Troviamo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

A seconda delle condizioni del problema, troviamo la lunghezza della diagonale minore. La diagonale ВАD sarà più piccola se l'angolo ВАD è acuto. Quindi cos VAD = 3/5.

3. Dal triangolo ABD, utilizzando il teorema del coseno, troviamo il quadrato della diagonale BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ÂD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Risposta: 145.

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Formula per l'area di un parallelogramma

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto del suo lato per l'altezza di quel lato.

Prova

Se il parallelogramma è un rettangolo, l'uguaglianza è soddisfatta dal teorema sull'area del rettangolo. Supponiamo quindi che gli angoli del parallelogramma non siano retti.

Sia $\angolo BAD$ un angolo acuto nel parallelogramma $ABCD$ e $AD > AB$. Altrimenti, rinomineremo i vertici. Allora l'altezza $BH$ dal vertice $B$ alla retta $AD$ cade sul lato $AD$, poiché il cateto $AH$ è più corto dell'ipotenusa $AB$, e $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Confrontiamo l'area del parallelogramma $ABCD$ e l'area del rettangolo $HBCK$. L'area di un parallelogramma è maggiore dell'area $\triangolo ABH$, ma minore dell'area $\triangolo DCK$. Poiché questi triangoli sono uguali, le loro aree sono uguali. Ciò significa che l'area di un parallelogramma è uguale all'area di un rettangolo con la lunghezza dei lati e l'altezza del parallelogramma.

Formula per l'area di un parallelogramma utilizzando lati e seno

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti per il seno dell'angolo compreso tra loro.

Prova

L'altezza del parallelogramma $ABCD$ caduto sul lato $AB$ è uguale al prodotto del segmento $BC$ per il seno dell'angolo $\angolo ABC$. Resta da applicare l'affermazione precedente.

Formula per l'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali

L'area di un parallelogramma è uguale alla metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro.

Prova

Lascia che le diagonali del parallelogramma $ABCD$ si intersechino nel punto $O$ con l'angolo $\alpha$. Quindi $AO=OC$ e $BO=OD$ per la proprietà del parallelogramma. I seni degli angoli la cui somma dà $180^\circ$ sono uguali, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Ciò significa che i seni degli angoli all'intersezione delle diagonali sono uguali a $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\triangolo AOB) + S_(\triangolo BOC) + S_(\triangolo COD) + S_(\triangolo AOD)$

secondo l’assioma della misurazione dell’area. Applichiamo la formula dell'area del triangolo $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ per questi triangoli e angoli quando le diagonali si intersecano. I lati di ciascuno sono uguali alla metà delle diagonali e anche i seni sono uguali. Pertanto, le aree di tutti e quattro i triangoli sono uguali a $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Riassumendo tutto quanto sopra, otteniamo

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Quando si risolvono problemi su questo argomento, eccetto proprietà di base parallelogramma e le formule corrispondenti, puoi ricordare e applicare quanto segue:

1. La bisettrice dell'angolo interno di un parallelogramma taglia da esso un triangolo isoscele
2. Le bisettrici degli angoli interni adiacenti ad uno dei lati di un parallelogramma sono mutuamente perpendicolari
3. Le bisettrici provenienti da angoli interni opposti di un parallelogramma sono parallele tra loro o giacciono sulla stessa retta
4. La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati
5. L'area di un parallelogramma è uguale alla metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro

Consideriamo i problemi in cui vengono utilizzate queste proprietà.

Compito 1.

La bisettrice dell'angolo C del parallelogramma ABCD interseca il lato AD nel punto M e la continuazione del lato AB oltre il punto A nel punto E. Trova il perimetro del parallelogramma se AE = 4, DM = 3.

Soluzione.

1. Il triangolo CMD è isoscele. (Proprietà 1). Pertanto CD = MD = 3 cm.

2. Il triangolo EAM è isoscele.
Pertanto AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetro ABCD = 20 cm.

Risposta. 20cm.

Compito 2.

Le diagonali sono disegnate in un quadrilatero convesso ABCD. È noto che le aree dei triangoli ABD, ACD, BCD sono uguali. Dimostrare che questo quadrilatero è un parallelogramma.

Soluzione.

1. Sia BE l'altezza del triangolo ABD, CF l'altezza del triangolo ACD. Poiché, secondo le condizioni del problema, le aree dei triangoli sono uguali e hanno una base comune AD, allora le altezze di questi triangoli sono uguali. ESSERE = CF.

2. BE, CF sono perpendicolari ad AD. I punti B e C si trovano dalla stessa parte rispetto alla retta AD. ESSERE = CF. Pertanto la retta BC || ANNO DOMINI. (*)

3. Sia AL l'altezza del triangolo ACD, BK l'altezza del triangolo BCD. Poiché, secondo le condizioni del problema, le aree dei triangoli sono uguali e hanno una base comune CD, allora le altezze di questi triangoli sono uguali. AL = BK.

4. AL e BK sono perpendicolari a CD. I punti B e A si trovano dalla stessa parte rispetto alla retta CD. AL = BK. Pertanto la retta AB || CD (**)

5. Dalle condizioni (*), (**) segue che ABCD è un parallelogramma.

Risposta. Comprovato. ABCD è un parallelogramma.

Compito 3.

Sui lati BC e CD del parallelogramma ABCD sono segnati rispettivamente i punti M e H, in modo che i segmenti BM e HD si intersecano nel punto O;<ВМD = 95 о,

Soluzione.

1. Nel triangolo DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. In un triangolo rettangolo DHC
(

Poi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Poiché in un triangolo rettangolo il cateto opposto all'angolo di 30° è pari alla metà dell'ipotenusa).

Ma CD = AB. Quindi AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Risposta: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Compito 4.

Di un parallelogramma lungo 4√6 una delle diagonali forma un angolo di 60° con la base, e la seconda diagonale forma un angolo di 45° con la stessa base. Trova la seconda diagonale.

Soluzione.

1. AO = 2√6.

2. Applichiamo il teorema del seno al triangolo AOD.

AO/sen D = OD/sen A.

2√6/sen 45 o = DE/sen 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Risposta: 12.

Compito 5.

Per un parallelogramma con i lati 5√2 e 7√2, l'angolo minore tra le diagonali è uguale all'angolo minore del parallelogramma. Trova la somma delle lunghezze delle diagonali.

Soluzione.

Siano d 1, d 2 le diagonali del parallelogramma e l'angolo tra le diagonali e l'angolo minore del parallelogramma è uguale a φ.

1. Contiamo due diversi
modi la sua area.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Otteniamo l'uguaglianza 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Usando la relazione tra i lati e le diagonali di un parallelogramma, scriviamo l'uguaglianza

(AB2 + AD2) 2 = AC2 + BD2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d12 + d22 = 296.

3. Creiamo un sistema:

(d12 + d22 = 296,
(d1 + d2 = 140.

Moltiplichiamo la seconda equazione del sistema per 2 e aggiungiamola alla prima.

Otteniamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Quindi Id 1 + d 2 I = 24.

Poiché d 1, d 2 sono le lunghezze delle diagonali del parallelogramma, allora d 1 + d 2 = 24.

Risposta: 24.

Compito 6.

I lati del parallelogramma sono 4 e 6. L'angolo acuto tra le diagonali è di 45 gradi. Trova l'area del parallelogramma.

Soluzione.

1. Dal triangolo AOB, utilizzando il teorema del coseno, scriviamo la relazione tra il lato del parallelogramma e le diagonali.

AB2 = AO2 + VO22 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Allo stesso modo, scriviamo la relazione per il triangolo AOD.

Teniamone conto<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Otteniamo l'equazione d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Abbiamo un sistema
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Sottraendo la prima dalla seconda equazione otteniamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 ovvero

d1d2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Nota: In questo e nel problema precedente non è necessario risolvere completamente il sistema, anticipando che in questo problema abbiamo bisogno del prodotto delle diagonali per calcolare l'area.

Risposta: 10.

Compito 7.

L'area del parallelogramma è 96 e i suoi lati sono 8 e 15. Trova il quadrato della diagonale minore.

Soluzione.

1. S ABCD = AB · AD · peccato ВAD. Facciamo una sostituzione nella formula.

Otteniamo 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Quindi peccato ВAD = 4/5.

2. Troviamo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

A seconda delle condizioni del problema, troviamo la lunghezza della diagonale minore. La diagonale ВАD sarà più piccola se l'angolo ВАD è acuto. Quindi cos VAD = 3/5.

3. Dal triangolo ABD, utilizzando il teorema del coseno, troviamo il quadrato della diagonale BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ÂD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Risposta: 145.

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Nota. Questo fa parte di una lezione con problemi di geometria (sezione del parallelogramma). Se hai bisogno di risolvere un problema di geometria che non è qui, scrivilo nel forum. Per indicare l'azione di estrazione di una radice quadrata nelle soluzioni di problemi, si utilizza il simbolo √ o sqrt(), con l'espressione radicale indicata tra parentesi.

Materiale teorico

Spiegazioni per le formule per trovare l'area di un parallelogramma:

1. L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della lunghezza di uno dei suoi lati per l'altezza di quel lato
2. L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei due lati adiacenti per il seno dell'angolo formato da essi
3. L'area di un parallelogramma è uguale alla metà del prodotto delle sue diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro

Problemi sulla determinazione dell'area di un parallelogramma

Compito.
In un parallelogramma l'altezza minore e il lato minore misurano rispettivamente 9 cm e la radice è 82. Trova l'area del parallelogramma.

Soluzione.
Indichiamo con BK l'altezza minore del parallelogramma ABCD abbassato dal punto B alla base maggiore AD.
Troviamo il valore del cateto di un triangolo rettangolo ABK formato da un'altezza minore, un lato minore e parte di una base maggiore. Secondo il teorema di Pitagora:

AB2 = BK2 + AK2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1

Allunghiamo la base superiore del parallelogramma BC e abbassiamo ad essa l'altezza AN dalla sua base inferiore. AN = BK come i lati del rettangolo ANBK. Troviamo la gamba NC del triangolo rettangolo ANC risultante.
AN2 + NC2 = AC2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC=12

Troviamo ora la base maggiore BC del parallelogramma ABCD.
BC = NC - NB
Teniamo conto quindi che NB = AK come lati del rettangolo
BC = 12 - 1 = 11

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della base per l'altezza di questa base.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Risposta: 99 cm2.

Compito

Nel parallelogramma ABCD la perpendicolare BO cade sulla diagonale AC. Trova l'area del parallelogramma se AO=8, OC=6 e BO=4.

Soluzione.
Lasciamo cadere un'altra perpendicolare DK sulla diagonale AC.
Di conseguenza, i triangoli AOB e DKC, COB e AKD sono uguali a due a due. Uno dei lati è il lato opposto del parallelogramma, uno degli angoli è una retta, poiché è perpendicolare alla diagonale, e uno degli angoli rimanenti è una croce interna giacente per i lati paralleli del parallelogramma e la secante diagonale.

Pertanto, l'area del parallelogramma è uguale all'area dei triangoli indicati. Questo è
Parallelo = 2S AOB +2S BOC

L'area di un triangolo rettangolo è pari alla metà del prodotto delle gambe. Dove
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Risposta: 56 cm2.