L’equilibrio si dice stabile. Equilibrio meccanico. III. Applicazione delle conoscenze sulla stabilità dei corpi

Anche tutte le forze applicate al corpo rispetto a qualsiasi asse di rotazione arbitrario sono uguali a zero.

In uno stato di equilibrio, il corpo è a riposo (il vettore velocità è zero) nel sistema di riferimento scelto, si muove uniformemente in linea retta o ruota senza accelerazione tangenziale.

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✪ Fisica. Statica: Condizioni per l'equilibrio di un corpo. Centro di apprendimento in linea di Foxford

✪ CONDIZIONE DI EQUILIBRIO CORPOREO Grado 10 Romanov

✪ Lezione 70. Tipi di equilibrio. Condizione per l'equilibrio del corpo in assenza di rotazione.

Sottotitoli

Definizione attraverso l'energia del sistema

Poiché l'energia e le forze sono legate da relazioni fondamentali, questa definizione è equivalente alla prima. Tuttavia, la definizione in termini di energia può essere estesa per fornire informazioni sulla stabilità della posizione di equilibrio.

Tipi di equilibrio

Facciamo un esempio per un sistema con un grado di libertà. In questo caso, una condizione sufficiente per la posizione di equilibrio sarà la presenza di un estremo locale nel punto studiato. Come è noto, la condizione per l'estremo locale di una funzione differenziabile è che la sua derivata prima sia uguale a zero. Per determinare quando questo punto è minimo o massimo, è necessario analizzare la sua derivata seconda. La stabilità della posizione di equilibrio è caratterizzata dalle seguenti opzioni:

• equilibrio instabile;
• equilibrio stabile;
• equilibrio indifferente.

Nel caso in cui la derivata seconda sia negativa, l'energia potenziale del sistema è in uno stato di massimo locale. Ciò significa che la posizione di equilibrio instabile. Se il sistema viene spostato per una piccola distanza, continuerà il suo movimento a causa delle forze che agiscono sul sistema. Cioè, quando il corpo perde l'equilibrio, non ritorna nella sua posizione originale.

Equilibrio stabile

Derivata seconda > 0: energia potenziale al minimo locale, posizione di equilibrio sostenibile(Vedi Teorema di Lagrange sulla stabilità dell’equilibrio). Se il sistema viene spostato per una piccola distanza, tornerà al suo stato di equilibrio. L'equilibrio è stabile se il baricentro del corpo occupa la posizione più bassa rispetto a tutte le possibili posizioni vicine. Con tale equilibrio, il corpo sbilanciato ritorna al suo posto originale.

Equilibrio indifferente

Derivata seconda = 0: in questa regione l'energia non varia e la posizione di equilibrio sì indifferente. Se il sistema viene spostato di una piccola distanza, rimarrà nella nuova posizione. Se devii o muovi il corpo, rimarrà in equilibrio.

• Tipi di sostenibilità

Per giudicare il comportamento di un corpo in condizioni reali non è sufficiente sapere che è in equilibrio. Dobbiamo ancora valutare questo equilibrio. Esistono equilibri stabili, instabili e indifferenti.

Si chiama l'equilibrio del corpo sostenibile, se, deviando da esso, si verificano forze che riportano il corpo alla posizione di equilibrio (Fig. 1 posizione 2). In equilibrio stabile, il centro di gravità del corpo occupa la posizione più bassa tra tutte le posizioni vicine. La posizione di equilibrio stabile è associata ad un minimo energia potenziale in relazione a tutte le posizioni vicine del corpo.

Si chiama l'equilibrio del corpo instabile, se, con la minima deviazione da essa, la risultante delle forze agenti sul corpo provoca un'ulteriore deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio (Fig. 1, posizione 1). In una posizione di equilibrio instabile, l'altezza del baricentro è massima e l'energia potenziale è massima rispetto ad altre posizioni vicine del corpo.

L'equilibrio, in cui lo spostamento di un corpo in qualsiasi direzione non provoca un cambiamento nelle forze che agiscono su di esso e l'equilibrio del corpo viene mantenuto, è chiamato indifferente(Fig. 1 posizione 3).

L'equilibrio indifferente è associato all'energia potenziale costante di tutti gli stati vicini e l'altezza del baricentro è la stessa in tutte le posizioni sufficientemente vicine.

Un corpo con un asse di rotazione (ad esempio, un righello uniforme che può ruotare attorno ad un asse passante per il punto O, mostrato in Figura 2) è in equilibrio se una linea retta verticale passante per il baricentro del corpo passa per il asse di rotazione. Inoltre, se il centro di gravità C è più alto dell'asse di rotazione (Fig. 2.1), allora per qualsiasi deviazione dalla posizione di equilibrio, l'energia potenziale diminuisce e il momento di gravità rispetto all'asse O devia il corpo ulteriormente dal posizione di equilibrio. Questa è una posizione di equilibrio instabile. Se il centro di gravità è al di sotto dell'asse di rotazione (Fig. 2.2), l'equilibrio è stabile. Se il centro di gravità e l'asse di rotazione coincidono (Fig. 2,3), la posizione di equilibrio è indifferente.

Un corpo avente un'area di appoggio è in equilibrio se la linea verticale che passa attraverso il baricentro del corpo non va oltre l'area di appoggio di questo corpo, cioè oltre il contorno formato dai punti di contatto del corpo con il supporto, l'equilibrio in questo caso non dipende solo dalla distanza tra il baricentro e il supporto (cioè dalla sua energia potenziale nel campo gravitazionale della Terra), ma anche dalla localizzazione e dalle dimensioni della zona di appoggio di questo corpo.

La Figura 2 mostra un corpo a forma di cilindro. Se viene inclinato di un piccolo angolo, tornerà nella posizione originale 1 o 2. Se viene inclinato di un angolo (posizione 3), il cassone si ribalterà. A parità di massa e di area di appoggio, la stabilità di un corpo è tanto maggiore quanto più basso è il suo baricentro, cioè quanto più basso è il suo baricentro. minore è l'angolo tra la linea retta che collega il baricentro del corpo e punto estremo contatto dell'area di appoggio con il piano orizzontale.

La branca della meccanica in cui si studiano le condizioni di equilibrio dei corpi si chiama statica. Il modo più semplice è considerare le condizioni di equilibrio di un corpo assolutamente rigido, cioè di un corpo le cui dimensioni e forma possono considerarsi invariate. Il concetto di corpo assolutamente rigido è un'astrazione, poiché tutti i corpi reali, sotto l'influenza delle forze ad essi applicate, si deformano in un modo o nell'altro, cioè cambiano forma e dimensione. L'entità delle deformazioni dipende sia dalle forze applicate al corpo sia dalle proprietà del corpo stesso: la sua forma e le proprietà del materiale di cui è composto. In molti casi pratici importanti, le deformazioni sono piccole e l'uso del concetto di corpo assolutamente rigido è giustificato.

Modello di corpo assolutamente rigido. Tuttavia, l'esiguità delle deformazioni non è sempre condizione sufficiente affinché un corpo possa essere considerato assolutamente solido. Per illustrare ciò, si consideri il seguente esempio. Una tavola appoggiata su due supporti (Fig. 140a) può essere considerata un corpo assolutamente rigido, nonostante si pieghi leggermente sotto l'influenza della gravità. In questo caso, infatti, le condizioni di equilibrio meccanico consentono di determinare le forze di reazione dei supporti senza tener conto della deformazione della tavola.

Ma se la stessa tavola poggia sugli stessi supporti (Fig. 1406), l'idea di un corpo assolutamente rigido è inapplicabile. Lascia infatti che i supporti esterni siano sulla stessa linea orizzontale e quello centrale leggermente più in basso. Se la tavola è assolutamente solida, cioè non si piega affatto, non esercita alcuna pressione sul supporto centrale. Se la tavola si piega, esercita pressione sul supporto centrale e maggiore è la deformazione. più è forte. Condizioni

L'equilibrio di un corpo assolutamente rigido in questo caso non permette di determinare le forze di reazione dei supporti, poiché portano a due equazioni per tre incognite.

Riso. 140. Forze di reazione agenti su un'asse posata su due (a) e tre (b) appoggi

Tali sistemi sono detti staticamente indeterminati. Per calcolarli è necessario tenere conto delle proprietà elastiche dei corpi.

L'esempio sopra mostra che l'applicabilità del modello di un corpo assolutamente rigido in statica è determinata non tanto dalle proprietà del corpo stesso, ma dalle condizioni in cui si trova. Quindi, nell'esempio considerato, anche una cannuccia sottile può essere considerata un corpo assolutamente solido se poggia su due supporti. Ma anche una trave molto rigida non può essere considerata un corpo assolutamente rigido se poggia su tre supporti.

Condizioni di equilibrio. Le condizioni di equilibrio di un corpo assolutamente rigido sono un caso speciale di equazioni dinamiche in assenza di accelerazione, sebbene storicamente la statica sia nata dalle esigenze della tecnologia di costruzione quasi due millenni prima della dinamica. In un sistema di riferimento inerziale un corpo rigido è in equilibrio se la somma vettoriale di tutte le forze esterne agenti sul corpo e la somma vettoriale dei momenti di tali forze sono pari a zero. Quando è soddisfatta la prima condizione, l'accelerazione del centro di massa del corpo è zero. Quando è soddisfatta la seconda condizione, non vi è alcuna accelerazione angolare di rotazione. Pertanto, se nel momento iniziale il corpo era a riposo, rimarrà a riposo ulteriormente.

In quanto segue ci limiteremo allo studio di sistemi relativamente semplici in cui tutto forze attive giacciono sullo stesso piano. In questo caso, la condizione del vettore

si riduce a due scalari:

se posizioniamo gli assi del piano d'azione delle forze. Alcune delle forze esterne agenti sul corpo comprese nelle condizioni di equilibrio (1) possono essere specificate, cioè se ne conoscono i moduli e le direzioni. Per quanto riguarda le forze di reazione delle connessioni o dei supporti che limitano il possibile movimento del corpo, di norma non sono predeterminate e sono esse stesse soggette a determinazione. In assenza di attrito le forze di reazione sono perpendicolari alla superficie di contatto dei corpi.

Riso. 141. Determinare la direzione delle forze di reazione

Forze di reazione. A volte sorgono dubbi nel determinare la direzione della forza di reazione del legame, come, ad esempio, in Fig. 141, che mostra un'asta appoggiata nel punto A sulla superficie liscia concava di una tazza e nel punto B sul bordo vivo della tazza.

Per determinare la direzione delle forze di reazione in questo caso, puoi muovere mentalmente leggermente l'asta senza disturbarne il contatto con la tazza. La forza di reazione sarà diretta perpendicolarmente alla superficie lungo la quale scorre il punto di contatto. Quindi, nel punto A la forza di reazione che agisce sull'asta è perpendicolare alla superficie della tazza, e nel punto B è perpendicolare all'asta.

Momento di potere. Momento M della forza relativo ad un punto

O è il prodotto vettoriale del raggio vettore tracciato da O al punto di applicazione della forza e del vettore forza

Il vettore M del momento della forza è perpendicolare al piano in cui giacciono i vettori

Equazione dei momenti. Se su un corpo agiscono più forze, nella forma viene scritta la seconda condizione di equilibrio associata ai momenti delle forze

In questo caso il punto O da cui si disegnano i raggi vettori deve essere scelto in modo che sia comune a tutte le forze agenti.

Per un sistema di forze piano, i vettori momento di tutte le forze sono diretti perpendicolarmente al piano in cui giacciono le forze, se i momenti sono considerati relativi ad un punto che giace sullo stesso piano. Pertanto, la condizione vettoriale (4) per i momenti si riduce ad uno scalare: nella posizione di equilibrio, la somma algebrica dei momenti di tutte le forze agenti esterne è pari a zero. Il modulo del momento della forza relativo al punto O è uguale al prodotto del modulo

forze a distanza dal punto O alla linea lungo la quale agisce la forza. In questo caso, i momenti che tendono a ruotare il corpo in senso orario vengono presi con lo stesso segno, in senso antiorario - con il segno opposto. La scelta del punto rispetto al quale considerare i momenti delle forze viene fatta esclusivamente per ragioni di convenienza: l'equazione dei momenti risulterà più semplice quanto più le forze avranno momenti pari a zero.

Un esempio di equilibrio. Per illustrare l'applicazione delle condizioni di equilibrio di un corpo assolutamente rigido, si consideri il seguente esempio. Una scala leggera è composta da due parti identiche, incernierate nella parte superiore e legate con una corda alla base (Fig. 142). Determiniamo qual è la forza di tensione della fune, con quali forze interagiscono le metà della scala nella cerniera e con quali forze premono sul pavimento, se una persona che pesa R si trova al centro di una di esse.

Il sistema in esame è costituito da due corpi solidi: metà della scala e le condizioni di equilibrio possono essere applicate sia al sistema nel suo insieme che alle sue parti. Applicando le condizioni di equilibrio all'intero sistema nel suo insieme, si possono trovare le forze di reazione del pavimento e (Fig. 142). In assenza di attrito, queste forze sono dirette verticalmente verso l'alto e la condizione affinché la somma vettoriale delle forze esterne sia pari a zero (1) assume la forma

La condizione di equilibrio per i momenti delle forze esterne rispetto al punto A è scritta come segue:

dove è la lunghezza delle scale, l'angolo formato dalle scale con il pavimento. Risolvendo il sistema di equazioni (5) e (6), troviamo

Riso. 142. La somma vettoriale delle forze esterne e la somma dei momenti delle forze esterne in equilibrio sono pari a zero

Naturalmente, invece dell'equazione dei momenti (6) rispetto al punto A, si potrebbe scrivere l'equazione dei momenti rispetto al punto B (o qualsiasi altro punto). Ciò si tradurrebbe in un sistema di equazioni equivalente al sistema utilizzato (5) e (6).

La forza di tensione della fune e le forze di interazione nella cerniera per il sistema fisico in esame sono interne e quindi non possono essere determinate dalle condizioni di equilibrio dell'intero sistema nel suo insieme. Per determinare queste forze, è necessario considerare le condizioni di equilibrio delle singole parti del sistema. In cui

scegliendo con successo il punto rispetto al quale viene redatta l'equazione dei momenti delle forze, si può ottenere una semplificazione sistema algebrico equazioni. Quindi, ad esempio, in questo sistema possiamo considerare la condizione di equilibrio dei momenti delle forze agenti sulla metà sinistra della scala rispetto al punto C, dove si trova la cerniera.

Con questa scelta del punto C le forze agenti sulla cerniera non saranno comprese in questa condizione, e troviamo subito la forza di tensione della fune T:

dove, dato che otteniamo

La condizione (7) significa che la risultante delle forze T passa per il punto C, cioè è diretta lungo le scale. Pertanto, l'equilibrio di questa metà della scala è possibile solo se la forza che agisce su di essa sulla cerniera è diretta anche lungo la scala (Fig. 143) e il suo modulo è uguale al modulo delle forze risultanti T e

Riso. 143. Per un punto passano le linee d'azione di tutte e tre le forze agenti sulla metà sinistra della scala

Il valore assoluto della forza che agisce nella cerniera sull'altra metà della scala, in base alla terza legge di Newton, è uguale e la sua direzione è opposta alla direzione del vettore. La direzione della forza può essere determinata direttamente dalla Fig. 143, tenendo conto che quando un corpo è in equilibrio sotto l'azione di tre forze, le linee lungo le quali agiscono queste forze si intersecano in un punto. Consideriamo infatti il ​​punto di intersezione delle linee d'azione di due di queste tre forze e costruiamo attorno a questo punto un'equazione dei momenti. I momenti delle prime due forze attorno a questo punto sono pari a zero; Ciò significa che anche il momento della terza forza deve essere uguale a zero, il che, secondo la (3), è possibile solo se la linea della sua azione passa anche per questo punto.

La regola d'oro della meccanica. A volte il problema della statica può essere risolto senza considerare affatto le condizioni di equilibrio, ma utilizzando la legge di conservazione dell'energia applicata a meccanismi senza attrito: nessun meccanismo dà un guadagno di lavoro. Questa legge

chiamata la regola d'oro della meccanica. Per illustrare questo approccio, consideriamo il seguente esempio: un carico pesante di peso P è sospeso su una cerniera senza peso con tre collegamenti (Fig. 144). Quale forza di tensione devono sopportare i punti di collegamento del filo A e B?

Riso. 144. Determinare la forza di tensione di un filo in una cerniera a tre maglie che supporta un carico di peso P

Proviamo ad utilizzare questo meccanismo per sollevare il carico P. Dopo aver sciolto il filo nel punto A, tiratelo su in modo che il punto B salga lentamente ad una distanza. Questa distanza è limitata dal fatto che la forza di tensione del filo T deve rimanere invariata durante il movimento. In questo caso, come risulterà chiaro dalla risposta, la forza T non dipende affatto da quanto viene compressa o allungata la cerniera. Il lavoro svolto. Di conseguenza, il carico P sale ad un'altezza che, come risulta da considerazioni geometriche, è pari a Poiché in assenza di attrito non si verificano perdite di energia, si può sostenere che la variazione dell'energia potenziale del carico è determinata dal lavoro svolto durante il sollevamento. Ecco perché

Ovviamente, per una cerniera contenente un numero arbitrario di collegamenti identici,

Non è difficile trovare la forza di tensione del filo, e nel caso in cui sia necessario tenere conto del peso della cerniera stessa, il lavoro svolto durante il sollevamento dovrebbe essere equiparato alla somma delle variazioni delle energie potenziali di il carico e la cerniera. Per una cerniera di maglie identiche, il suo centro di massa si alza di Pertanto

Il principio formulato ("la regola d'oro della meccanica") è applicabile anche quando, durante il processo di movimento, non si verifica alcun cambiamento nell'energia potenziale e il meccanismo viene utilizzato per convertire la forza. Riduttori, trasmissioni, cancelli, sistemi di leve e blocchi: in tutti questi sistemi, la forza convertita può essere determinata equiparando il lavoro delle forze convertite e applicate. In altre parole, in assenza di attrito, il rapporto tra queste forze è determinato solo dalla geometria del dispositivo.

Consideriamo da questo punto di vista l'esempio con una scala a pioli discusso sopra. Naturalmente, non è consigliabile utilizzare una scala a pioli come meccanismo di sollevamento, ovvero sollevare una persona avvicinando le metà della scala a pioli. Ciò però non può impedirci di applicare il metodo descritto per trovare la forza di tensione della fune. Equiparando il lavoro svolto quando le parti della scala si uniscono alla variazione dell'energia potenziale della persona sulla scala e, da considerazioni geometriche, collegando il movimento dell'estremità inferiore della scala con una variazione dell'altezza del carico (Fig. 145), otteniamo, come ci si aspetterebbe, il risultato precedentemente dato:

Come già notato, il movimento dovrebbe essere scelto in modo tale che durante il processo la forza agente possa essere considerata costante. È facile vedere che nell'esempio con cerniera questa condizione non impone restrizioni al movimento, poiché la forza di tensione del filo non dipende dall'angolo (Fig. 144). Al contrario, nel problema della scala a pioli lo spostamento dovrebbe essere scelto piccolo, perché la forza di tensione della fune dipende dall'angolo a.

Stabilità dell'equilibrio. L’equilibrio può essere stabile, instabile e indifferente. L'equilibrio è stabile (Fig. 146a) se, con piccoli spostamenti del corpo dalla posizione di equilibrio, le forze agenti tendono a riportarlo indietro, e instabile (Fig. 1466) se le forze lo allontanano dalla posizione di equilibrio.

Riso. 145. Movimenti delle estremità inferiori della scala e spostamento del carico quando le metà della scala si uniscono

Riso. 146. Equilibri stabili (a), instabili (b) e indifferenti (c).

Se, a piccoli spostamenti, le forze che agiscono sul corpo ed i loro momenti sono ancora in equilibrio, allora l'equilibrio è indifferente (Fig. 146c). Nell'equilibrio indifferente anche le posizioni vicine del corpo sono equilibrio.

Consideriamo esempi di studio della stabilità dell'equilibrio.

1. L'equilibrio stabile corrisponde all'energia potenziale minima del corpo in relazione ai suoi valori nelle posizioni vicine del corpo. Questa proprietà è spesso conveniente da utilizzare quando si trova la posizione di equilibrio e quando si studia la natura dell'equilibrio.

Riso. 147. Stabilità dell'equilibrio corporeo e posizione del baricentro

Una colonna verticale indipendente è in equilibrio stabile, poiché a piccole inclinazioni il suo centro di massa si alza. Ciò accade finché la proiezione verticale del baricentro non supera l'area di appoggio, cioè l'angolo di deviazione dalla verticale non supera un certo valore massimo. In altre parole, la regione di stabilità si estende dall'energia potenziale minima (in posizione verticale) a quella massima più vicina ad essa (Fig. 147). Quando il centro di massa si trova esattamente sopra il confine dell'area di supporto, anche la colonna è in equilibrio, ma instabile. Una colonna disposta orizzontalmente corrisponde ad un campo di stabilità molto più ampio.

2. Ci sono due matite rotonde con raggi e una di queste è posizionata orizzontalmente, l'altra è in equilibrio su di essa posizione orizzontale in modo che gli assi delle matite siano tra loro perpendicolari (Fig. 148a). Con quale rapporto tra i raggi l'equilibrio è stabile? A quale angolo massimo può essere inclinata la matita superiore rispetto all'orizzontale? Il coefficiente di attrito delle matite l'una contro l'altra è uguale a

A prima vista può sembrare che l'equilibrio della matita superiore sia generalmente instabile, poiché il centro di massa della matita superiore si trova sopra l'asse attorno al quale può ruotare. Tuttavia, qui la posizione dell'asse di rotazione non rimane invariata, quindi questo caso richiede uno studio speciale. Poiché la matita superiore è bilanciata in posizione orizzontale, i centri di massa delle matite giacciono su questa verticale (Fig. ).

Incliniamo la matita superiore di un certo angolo rispetto all'orizzontale. In assenza di attrito statico, scivolerebbe immediatamente verso il basso. Per non pensare per ora ad un possibile slittamento, supponiamo che l'attrito sia piuttosto grande. In questo caso, la matita superiore “rotola” su quella inferiore senza scivolare. Il fulcro dalla posizione A si sposta in una nuova posizione C, e il punto in cui la matita superiore poggiava su quella inferiore prima della deviazione

va in posizione B. Poiché non c'è slittamento, la lunghezza dell'arco è uguale alla lunghezza del segmento

Riso. 148. La matita superiore è bilanciata orizzontalmente sulla matita inferiore (a); allo studio della stabilità dell'equilibrio (b)

Il centro di massa della matita superiore si sposta nella posizione . Se la linea verticale tracciata passa a sinistra del nuovo fulcro C, la gravità tende a riportare la matita superiore nella sua posizione di equilibrio.

Esprimiamo matematicamente questa condizione. Tracciando una linea verticale che passa per il punto B, vediamo che la condizione deve essere soddisfatta

Poiché dalla condizione (8) si ottiene

Poiché la forza di gravità tenderà a riportare la matita superiore nella posizione di equilibrio solo a Pertanto, l'equilibrio stabile della matita superiore su quella inferiore è possibile solo quando il suo raggio è inferiore al raggio della matita inferiore.

Il ruolo dell'attrito. Per rispondere alla seconda domanda, è necessario scoprire quali ragioni limitano l'angolo di deviazione consentito. In primo luogo, a grandi angoli di deflessione, la verticale tracciata attraverso il centro di massa della matita superiore può passare a destra del punto di fulcro C. Dalla condizione (9) è chiaro che per un dato rapporto dei raggi delle matite l'angolo massimo di deflessione

Le condizioni di equilibrio di un corpo rigido sono sempre sufficienti per determinare le forze di reazione?

Come si può praticamente determinare la direzione delle forze di reazione in assenza di attrito?

Come si può usare la regola d'oro della meccanica quando si analizzano le condizioni di equilibrio?

Se nella cerniera mostrata in Fig. 144, collega con un filo non i punti A e B, ma i punti A e C, quindi quale sarà la sua forza di tensione?

In che modo la stabilità dell’equilibrio di un sistema è legata alla sua energia potenziale?

Quali condizioni determinano l'angolo massimo di deflessione di un corpo appoggiato su un piano in tre punti affinché la sua stabilità non venga persa?

Nella statica di un corpo assolutamente rigido si distinguono tre tipi di equilibrio.

1. Considera una palla che si trova su una superficie concava. Nella posizione mostrata in Fig. 88, la palla è in equilibrio: la forza di reazione del supporto bilancia la forza di gravità .

Se la palla viene deviata dalla posizione di equilibrio, allora la somma vettoriale delle forze di gravità e della reazione del supporto non è più uguale a zero: si crea una forza , che tende a riportare la palla nella sua posizione di equilibrio originale (al punto DI).

Questo è un esempio di equilibrio stabile.

S u t i a z i o n Questo tipo di equilibrio si chiama, all'uscita, che si manifestano forze o momenti di forza che tendono a riportare il corpo in una posizione di equilibrio.

L'energia potenziale della palla in qualsiasi punto della superficie concava è maggiore dell'energia potenziale nella posizione di equilibrio (nel punto DI). Ad esempio, al punto UN(Fig. 88) l'energia potenziale è maggiore dell'energia potenziale in un punto DI per l'importo E P ( UN) -E n(0) = mgh.

In una posizione di equilibrio stabile, l'energia potenziale del corpo ha un valore minimo rispetto alle posizioni vicine.

2. Una palla su una superficie convessa è in una posizione di equilibrio nel punto più alto (Fig. 89), dove la forza di gravità è bilanciata dalla forza di reazione del supporto. Se devii la palla dal punto DI, allora una forza appare diretta lontano dalla posizione di equilibrio.

Sotto l'influenza della forza, la palla si allontanerà dal punto DI. Questo è un esempio di equilibrio instabile.

Instabile Questo tipo di equilibrio si chiama, all'uscita, da cui si generano forze o momenti di forza che tendono a portare il corpo ancora più lontano dalla posizione di equilibrio.

L'energia potenziale di una palla su una superficie convessa ha il valore massimo (massimo) in quel punto DI. In qualsiasi altro punto l'energia potenziale della palla è inferiore. Ad esempio, al punto UN(Fig. 89) l'energia potenziale è inferiore che in un punto DI, per l'importo E P ( 0 ) - Ep ( UN) = mgh.

In una posizione di equilibrio instabile, l'energia potenziale del corpo ha un valore massimo rispetto alle posizioni vicine.

3. Su una superficie orizzontale, le forze che agiscono sulla palla sono bilanciate in qualsiasi punto: (Fig. 90). Se, ad esempio, sposti la palla dal punto DI esattamente UN, quindi la forza risultante
la gravità e la reazione del suolo sono ancora pari a zero, vale a dire anche nel punto A la palla è in posizione di equilibrio.

Questo è un esempio di equilibrio indifferente.

Indifferente Questo tipo di equilibrio viene chiamato, all'uscita dal quale il corpo rimane in una nuova posizione di equilibrio.

L'energia potenziale della palla in tutti i punti della superficie orizzontale (Fig. 90) è la stessa.

In posizioni di equilibrio indifferente l’energia potenziale è la stessa.

A volte in pratica è necessario determinare il tipo di equilibrio di corpi di varie forme in un campo di gravità. Per fare questo è necessario ricordare seguenti regole:

1. Il corpo può trovarsi in una posizione di equilibrio stabile se il punto di applicazione della forza di reazione al suolo è al di sopra del baricentro del corpo. Inoltre, questi punti giacciono sulla stessa verticale (Fig. 91).

Nella fig. 91, B Il ruolo della forza di reazione del supporto è svolto dalla forza di tensione del filo.

2. Quando il punto di applicazione della forza di reazione del terreno è al di sotto del baricentro, sono possibili due casi:

Se il supporto è puntiforme (la superficie del supporto è piccola), l'equilibrio è instabile (Fig. 92). Con una leggera deviazione dalla posizione di equilibrio, il momento della forza tende ad aumentare la deviazione dalla posizione iniziale;

Se il supporto non è puntuale (la superficie del supporto è grande), la posizione di equilibrio è stabile nel caso in cui la linea di azione della gravità aa" interseca la superficie di appoggio del corpo
(Fig. 93). In questo caso, con una leggera deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio, si verifica un momento di forza che riporta il corpo nella sua posizione originale.

??? RISPONDERE ALLE DOMANDE:

1. Come cambia la posizione del baricentro di un corpo se il corpo viene spostato dalla posizione di: a) equilibrio stabile? b) equilibrio instabile?

2. Come cambia l'energia potenziale di un corpo se la sua posizione viene modificata in equilibrio indifferente?

Questa lezione tratta i seguenti argomenti:

1. Condizioni di equilibrio dei sistemi meccanici.

2. Stabilità dell'equilibrio.

3. Un esempio di determinazione delle posizioni di equilibrio e studio della loro stabilità.

Lo studio di queste problematiche è necessario per studiare i movimenti oscillatori di un sistema meccanico rispetto alla posizione di equilibrio nella disciplina “Parti di macchine”, per risolvere problemi nelle discipline “Teoria delle macchine e dei meccanismi” e “Resistenza dei materiali”.

Un caso importante di movimento dei sistemi meccanici è il loro movimento oscillatorio. Le oscillazioni sono movimenti ripetuti di un sistema meccanico rispetto ad alcune delle sue posizioni, che si verificano più o meno regolarmente nel tempo. Il lavoro del corso esamina il moto oscillatorio di un sistema meccanico rispetto ad una posizione di equilibrio (relativa o assoluta).

Un sistema meccanico può oscillare per un periodo di tempo sufficientemente lungo solo in prossimità di una posizione di equilibrio stabile. Pertanto, prima di comporre le equazioni del moto oscillatorio, è necessario trovare le posizioni di equilibrio e studiarne la stabilità.

Condizioni di equilibrio per sistemi meccanici.

Secondo il principio degli spostamenti possibili (l’equazione fondamentale della statica), affinché un sistema meccanico sul quale sono imposti vincoli ideali, stazionari, vincolanti e olonomi sia in equilibrio, è necessario e sufficiente che tutte le forze generalizzate in questo sistema essere uguale a zero:

Dove - forza generalizzata corrispondente J- oh coordinata generalizzata;

S- il numero di coordinate generalizzate nel sistema meccanico.

Se per il sistema in esame sono state compilate equazioni differenziali del moto sotto forma di equazioni di Lagrange del secondo tipo, per determinare le possibili posizioni di equilibrio è sufficiente equiparare a zero le forze generalizzate e risolvere le equazioni risultanti rispetto alle forze generalizzate coordinate.

Se il sistema meccanico è in equilibrio in un campo di forza potenziale, dalle equazioni (1) otteniamo le seguenti condizioni di equilibrio:

Pertanto, nella posizione di equilibrio, l'energia potenziale ha un valore estremo. Non tutti gli equilibri determinati dalle formule di cui sopra possono essere realizzati praticamente. A seconda del comportamento del sistema quando si discosta dalla posizione di equilibrio si parla di stabilità o instabilità di questa posizione.

Stabilità dell'equilibrio

La definizione del concetto di stabilità di una posizione di equilibrio fu data alla fine del XIX secolo nelle opere dello scienziato russo A. M. Lyapunov. Diamo un'occhiata a questa definizione.

Per semplificare i calcoli, concorderemo ulteriormente le coordinate generalizzate Q 1 , Q 2 ,...,Q S contare dalla posizione di equilibrio del sistema:

Dove

Una posizione di equilibrio è detta stabile se esiste un numero arbitrariamente piccolopuoi trovare un altro numero? , quello nel caso in cui i valori iniziali delle coordinate e delle velocità generalizzate non supereranno:

i valori delle coordinate e delle velocità generalizzate durante l'ulteriore movimento del sistema non supereranno .

In altre parole, la posizione di equilibrio del sistema Q 1 = Q 2 = ...= Q s = 0 viene chiamato sostenibile, se è sempre possibile trovare valori iniziali sufficientemente piccoli, in cui il movimento del sistemanon lascerà alcun intorno dato, arbitrariamente piccolo, della posizione di equilibrio. Per un sistema con un grado di libertà, il movimento stabile del sistema può essere chiaramente rappresentato nel piano delle fasi (Fig. 1).Per una posizione di equilibrio stabile, il movimento del punto rappresentante, a partire dalla regione [ ] , non andrà oltre la regione in futuro.

Fig. 1

Si chiama la posizione di equilibrio asintoticamente stabile , se nel tempo il sistema si avvicina alla posizione di equilibrio, cioè

Determinare le condizioni per la stabilità di una posizione di equilibrio è un compito piuttosto complesso, quindi ci limiteremo al caso più semplice: studiare la stabilità dell'equilibrio dei sistemi conservativi.

Vengono determinate condizioni sufficienti per la stabilità delle posizioni di equilibrio per tali sistemi Teorema di Lagrange-Dirichlet : la posizione di equilibrio di un sistema meccanico conservativo è stabile se nella posizione di equilibrio l'energia potenziale del sistema ha un minimo isolato .

L'energia potenziale di un sistema meccanico viene determinata con precisione rispetto ad una costante. Scegliamo questa costante in modo che nella posizione di equilibrio l'energia potenziale sia uguale a zero:

P(0)=0.

Allora, per un sistema ad un grado di libertà, una condizione sufficiente per l’esistenza di un minimo isolato, insieme alla condizione necessaria (2), sarà la condizione

Poiché nella posizione di equilibrio l'energia potenziale ha un minimo isolato e P(0)=0 , quindi in un intorno finito di questa posizione

P(q)=0.

Vengono chiamate le funzioni che hanno un segno costante e sono uguali a zero solo quando tutti i loro argomenti sono zero definito nel segno. Di conseguenza, affinché la posizione di equilibrio di un sistema meccanico sia stabile, è necessario e sufficiente che in prossimità di tale posizione l'energia potenziale sia una funzione definita positiva di coordinate generalizzate.

Per i sistemi lineari e per i sistemi che possono essere ridotti a lineari per piccole deviazioni dalla posizione di equilibrio (linearizzati), l'energia potenziale può essere rappresentata sotto forma di forma quadratica di coordinate generalizzate

Dove - coefficienti di rigidezza generalizzati.

Coefficienti generalizzatisono numeri costanti che possono essere determinati direttamente dallo sviluppo in serie dell'energia potenziale o dai valori delle derivate seconde dell'energia potenziale rispetto alle coordinate generalizzate nella posizione di equilibrio:

Dalla formula (4) segue che i coefficienti di rigidezza generalizzati sono simmetrici rispetto agli indici

Per quello Affinché siano soddisfatte condizioni sufficienti per la stabilità della posizione di equilibrio, l'energia potenziale deve essere una forma quadratica definita positiva delle sue coordinate generalizzate.

In matematica c'è Criterio di Silvestro , che fornisce condizioni necessarie e sufficienti per la definitezza positiva delle forme quadratiche: la forma quadratica (3) sarà definita positiva se il determinante composto dai suoi coefficienti e da tutti i suoi minori diagonali principali è positivo, cioè se le probabilità soddisferà le condizioni

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In particolare per sistema lineare con due gradi di libertà si avrà la forma dell'energia potenziale e delle condizioni del criterio di Sylvester

In modo analogo è possibile studiare le posizioni di equilibrio relativo se, al posto dell'energia potenziale, introduciamo l'energia potenziale del sistema ridotto.

P Un esempio di determinazione delle posizioni di equilibrio e studio della loro stabilità

Fig.2

Consideriamo un sistema meccanico costituito da un tubo AB, che è l'asta OO1 collegato all'asse di rotazione orizzontale e una sfera che si muove lungo il tubo senza attrito ed è collegata ad un punto UN tubi con molla (Fig. 2). Determiniamo le posizioni di equilibrio del sistema e valutiamo la loro stabilità rispetto ai seguenti parametri: lunghezza del tubo l2 = 1 M , lunghezza dell'asta l1 = 0,5 M . lunghezza della molla indeformata l 0 = Rigidità della molla 0,6 m C= 100 N/m. Peso del tubo M 2 = 2 kg, asta - M 1 = 1 kg e la palla - M 3 = 0,5 kg. Distanza O.A. equivale l 3 = 0,4 m.

Scriviamo un'espressione per l'energia potenziale del sistema in esame. È costituito dall'energia potenziale di tre corpi situati in un campo di gravità uniforme e dall'energia potenziale di una molla deformata.

L'energia potenziale di un corpo in un campo gravitazionale è pari al prodotto del peso del corpo per l'altezza del suo baricentro sopra il piano in cui l'energia potenziale è considerata pari a zero. Supponiamo che l'energia potenziale sia nulla nel piano passante per l'asse di rotazione dell'asta O.O. 1, quindi per la gravità

Per la forza elastica, l'energia potenziale è determinata dall'entità della deformazione

Cerchiamo le possibili posizioni di equilibrio del sistema. I valori delle coordinate nelle posizioni di equilibrio sono le radici del seguente sistema di equazioni.

Un sistema simile di equazioni può essere compilato per qualsiasi sistema meccanico con due gradi di libertà. In alcuni casi è possibile ottenere una soluzione esatta del sistema. Per il sistema (5) tale soluzione non esiste, quindi le radici devono essere ricercate utilizzando metodi numerici.

Risolvendo il sistema di equazioni trascendenti (5), otteniamo due possibili posizioni di equilibrio:

Per valutare la stabilità delle posizioni di equilibrio ottenute, troveremo tutte le derivate seconde dell'energia potenziale rispetto alle coordinate generalizzate e da esse determineremo i coefficienti di rigidità generalizzati.