Eventi affidabili e impossibili. Argomento della lezione: "Eventi affidabili, impossibili e casuali". Problemi di calcolo diretto delle probabilità

1.1. Alcune informazioni dalla combinatoria

1.1.1. Posizionamenti

Consideriamo i concetti più semplici associati alla selezione e alla disposizione di un determinato insieme di oggetti.
Il conteggio del numero di modi in cui queste azioni possono essere eseguite viene spesso effettuato quando si risolvono problemi probabilistici.
Definizione. Posto da N elementi di K (K ≤N) è qualsiasi sottoinsieme ordinato di K elementi di un insieme composto da N vari elementi.
Esempio. Le seguenti sequenze di numeri sono posizionamenti di 2 elementi da 3 elementi dell'insieme (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Tieni presente che i posizionamenti differiscono nell'ordine degli elementi inclusi in essi e nella loro composizione. Le posizioni 12 e 21 contengono gli stessi numeri, ma il loro ordine è diverso. Pertanto, questi posizionamenti sono considerati diversi.
Numero di posizionamenti diversi da N elementi di Kè designato e calcolato dalla formula:
,
Dove N! = 1∙2∙...∙(N - 1)∙N(si legge" N- fattoriale").
Il numero di numeri di due cifre che possono essere composti dalle cifre 1, 2, 3, purché nessuna cifra sia ripetuta uguale a: .

1.1.2. Riarrangiamenti

Definizione. Permutazioni da N gli elementi sono chiamati tali posizionamenti di N elementi che differiscono solo nella posizione degli elementi.
Numero di permutazioni da N elementi P.N calcolato con la formula: P.N=N!
Esempio. In quanti modi possono mettersi in fila 5 persone? Il numero di modi è uguale al numero di permutazioni di 5 elementi, cioè
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definizione. Se tra N elementi K identici, quindi riorganizzazione di questi N elementi è chiamata permutazione con ripetizioni.
Esempio. Sia 2 dei 6 libri identici. Qualsiasi disposizione di tutti i libri su uno scaffale è una riorganizzazione con ripetizione.
Numero di permutazioni diverse con ripetizioni (da N elementi, inclusi K identico) viene calcolato utilizzando la formula: .
Nel nostro esempio, il numero di modi in cui i libri possono essere disposti su uno scaffale è: .

1.1.3. Combinazioni

Definizione. Combinazioni di N elementi di K vengono chiamati tali posizionamenti N elementi di K, che differiscono tra loro almeno per un elemento.
Numero di diverse combinazioni di N elementi di Kè designato e calcolato con la formula: .
Per definizione, 0!=1.
Valido per combinazioni seguenti proprietà:
1.
2.
3.
4.
Esempio. Ci sono 5 fiori Colore diverso. Per il bouquet vengono selezionati 3 fiori. Il numero di mazzi diversi di 3 fiori su 5 è pari a: .

1.2. Eventi casuali

1.2.1. Eventi

La conoscenza della realtà nelle scienze naturali avviene a seguito di prove (esperimento, osservazioni, esperienza).
Test o l'esperienza è l'implementazione di un insieme specifico di condizioni che possono essere riprodotte come desiderato gran numero una volta.
Casuale è un evento che può o meno verificarsi come risultato di qualche test (esperienza).
Pertanto, l'evento è considerato come il risultato del test.
Esempio. Lanciare una moneta è una sfida. L'apparizione di un'aquila durante un lancio è un evento.
Gli eventi che osserviamo differiscono nel grado di possibilità del loro verificarsi e nella natura della loro interrelazione.
L'evento è chiamato affidabile , se è certo che si verificherà come risultato di questo test.
Esempio. Il conseguimento di un voto positivo o negativo all'esame da parte dello studente è un evento attendibile se l'esame si svolge secondo le consuete regole.
L'evento è chiamato impossibile , se non può verificarsi a seguito di questo test.
Esempio. Rimuovere una pallina bianca da un'urna che contiene solo palline colorate (non bianche) è un evento impossibile. Si noti che in altre condizioni sperimentali non è esclusa la comparsa di una pallina bianca; quindi, questo evento è impossibile solo nelle condizioni della nostra esperienza.
Nel seguito gli eventi casuali verranno indicati con grandi lettere latine lettere A,B,C... Indichiamo un evento affidabile con la lettera Ω, un evento impossibile con Ø.
Vengono chiamati due o più eventi ugualmente possibile V questo test, se c'è motivo di ritenere che nessuno di questi eventi sia più o meno possibile degli altri.
Esempio. Con un lancio di dado, la comparsa di 1, 2, 3, 4, 5 e 6 punti sono tutti eventi ugualmente possibili. Si presuppone, ovviamente, che i dadi siano costituiti da un materiale omogeneo e abbiano la forma corretta.
I due eventi vengono chiamati incompatibile in una data prova, se il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi dell'altro, e giunto Altrimenti.
Esempio. La scatola contiene parti standard e non standard. Prendiamo un dettaglio per fortuna. L'aspetto di una parte standard elimina l'aspetto di una parte non standard. Questi eventi sono incompatibili.
Si formano diversi eventi gruppo completo di eventi in un dato test, se è sicuro che almeno uno di essi si verifichi come risultato di questo test.
Esempio. Gli eventi dell'esempio formano un gruppo completo di eventi ugualmente possibili e incompatibili a coppie.
Vengono chiamati due eventi incompatibili che formano un gruppo completo di eventi in una data prova eventi opposti.
Se uno di essi è designato da UN, quindi l'altro è solitamente denotato da (leggi “non UN»).
Esempio. Un colpo andato a segno e un colpo mancato con un colpo al bersaglio sono eventi opposti.

1.2.2. Definizione classica di probabilità

Probabilità dell'evento – una misura numerica della possibilità del suo verificarsi.
Evento UN chiamato favorevole evento IN se ogni volta che si verifica un evento UN, l'evento arriva IN.
Eventi UN 1 , UN 2 , ..., UNN modulo diagramma del caso , se essi:
1) ugualmente possibile;
2) incompatibili a coppie;
3) formare un gruppo completo.
Nello schema dei casi (e solo in questo schema) rientra la definizione classica di probabilità P(UN) eventi UN. Qui, un caso è ciascuno degli eventi appartenenti a un gruppo completo selezionato di eventi ugualmente possibili e a coppie incompatibili.
Se Nè il numero di tutti i casi nello schema, e M– numero di casi favorevoli all’evento UN, Quello probabilità di un evento UNè determinato dall'uguaglianza:

Dalla definizione di probabilità conseguono le seguenti proprietà:
1. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno.
Infatti, se un evento è certo, allora ogni caso nello schema dei casi è a favore dell'evento. In questo caso M = N e quindi

2. La probabilità di un evento impossibile è zero.
Infatti, se un evento è impossibile, allora nessun caso nella serie dei casi favorisce l’evento. Ecco perché M=0 e quindi

La probabilità di un evento casuale è un numero positivo compreso tra zero e uno.
Veramente, evento casuale solo alcuni di essi sono favorevoli numero totale casi nel diagramma dei casi. Pertanto 0<M<N, che significa 0<M/N<1 и, следовательно, 0 < PAPÀ) < 1.
Quindi, la probabilità di qualsiasi evento soddisfa le disuguaglianze
0 ≤ P(UN) ≤ 1.
Attualmente, le proprietà della probabilità sono definite sotto forma di assiomi formulati da A.N. Kolmogorov.
Uno dei principali vantaggi della definizione classica di probabilità è la capacità di calcolare direttamente la probabilità di un evento, cioè senza ricorrere agli esperimenti, che vengono sostituiti dal ragionamento logico.

Problemi di calcolo diretto delle probabilità

Problema 1.1. Qual è la probabilità che si ottengano un numero pari di punti (evento A) lanciando un dado?
Soluzione. Considera gli eventi UNio- abbandonato io occhiali, io= 1, 2, …,6. È ovvio che questi eventi formano uno schema di casi. Quindi il numero di tutti i casi N= 6. I casi favoriscono il lancio di un numero pari di punti UN 2 , UN 4 , UN 6, cioè M= 3. Quindi .
Problema 1.2. In un'urna ci sono 5 palline bianche e 10 nere. Le palline vengono mescolate accuratamente e poi viene estratta 1 pallina a caso. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia bianca?
Soluzione. Ci sono un totale di 15 casi che formano un modello di casi. Inoltre, l'evento atteso UN– l'apparizione di una pallina bianca è quindi favorita da 5 di essi .
Problema 1.3. Un bambino gioca con sei lettere dell'alfabeto: A, A, E, K, R, T. Calcola la probabilità che riesca a formare casualmente la parola CARROZZA (evento A).
Soluzione. La soluzione è complicata dal fatto che tra le lettere ce ne sono di identiche: due lettere “A”. Pertanto, il numero di tutti i casi possibili in un dato test è uguale al numero di permutazioni con ripetizioni di 6 lettere:
.
Questi casi sono ugualmente possibili, incoerenti a coppie e formano un gruppo completo di eventi, ad es. formare un diagramma dei casi. Una sola possibilità favorisce l'evento UN. Ecco perché
.
Problema 1.4. Tanya e Vanya hanno deciso di festeggiare il nuovo anno in una compagnia di 10 persone. Entrambi avrebbero davvero voluto sedersi uno accanto all'altro. Qual è la probabilità che il loro desiderio venga soddisfatto se è consuetudine distribuire a sorte i posti tra i loro amici?
Soluzione. Indichiamo con UN evento "soddisfazione dei desideri di Tanya e Vanya". Ad un tavolo da 10 possono sedersi 10 persone! diversi modi. Quanti di questi N= 10! modi altrettanto possibili sono favorevoli a Tanya e Vanja? Tanya e Vanya, sedute una accanto all'altra, possono assumere 20 posizioni diverse. Allo stesso tempo, otto dei loro amici possono sedersi ad un tavolo da 8! in modi diversi, quindi M= 20∙8!. Quindi,
.
Problema 1.5. Un gruppo di 5 donne e 20 uomini seleziona tre delegati. Supponendo che ciascuno dei presenti possa essere scelto con uguale probabilità, determinare la probabilità che vengano scelti due donne e un uomo.
Soluzione. Il numero totale di risultati del test ugualmente possibili è pari al numero di modi in cui possono essere selezionati tre delegati tra 25 persone, vale a dire . Contiamo ora il numero dei casi favorevoli, cioè il numero di casi in cui si verifica l’evento di interesse. Un delegato maschio può essere selezionato in venti modi. Allo stesso tempo, i restanti due delegati devono essere donne e si possono scegliere due donne su cinque. Quindi, . Ecco perché
.
Problema 1.6. Quattro palline vengono sparse casualmente su quattro buche, ciascuna pallina cade nell'una o nell'altra buca con la stessa probabilità e indipendentemente dalle altre (non ci sono ostacoli alla caduta di più palline nella stessa buca). Trova la probabilità che una delle buche contenga tre palline, l'altra - una e le altre due buche non contengano palline.
Soluzione. Numero totale di casi N=444. Il numero di modi in cui si può scegliere una buca in cui ci saranno tre palline, . Il numero di modi in cui puoi scegliere una buca in cui ci sarà una pallina, . Il numero di modi in cui tre delle quattro palline possono essere selezionate per essere piazzate nella prima buca è . Numero totale di casi favorevoli. Probabilità dell'evento:
Problema 1.7. Nella scatola ci sono 10 palline identiche, contrassegnate con i numeri 1, 2, ..., 10. Per fortuna vengono estratte sei palline. Determinare la probabilità che tra le palline estratte ci sia: a) pallina n. 1; b) palline n. 1 e n. 2.
Soluzione. a) Il numero totale dei possibili esiti elementari della prova è pari al numero di modi in cui si possono estrarre sei palline da dieci, cioè
Troviamo il numero di esiti favorevoli all'evento che ci interessa: tra le sei palline selezionate c'è la pallina n. 1 e, quindi, le restanti cinque palline hanno numeri diversi. Il numero di tali risultati è ovviamente uguale al numero di modi in cui si possono selezionare cinque palline dalle restanti nove, cioè
La probabilità richiesta è pari al rapporto tra il numero di esiti favorevoli all’evento in questione e il numero totale di possibili esiti elementari:
b) Il numero di esiti favorevoli all'evento che ci interessa (tra le palline selezionate ci sono le palline n. 1 e n. 2, quindi quattro palline hanno numeri diversi) è pari al numero di modi in cui quattro palline possono essere estratto dai restanti otto, cioè Probabilità richiesta

1.2.3. Probabilità statistica

La definizione statistica di probabilità viene utilizzata quando i risultati di un esperimento non sono ugualmente possibili.
Frequenza relativa degli eventi UNè determinato dall'uguaglianza:
,
Dove M– numero di prove in cui si è verificato l'evento UNè arrivato N– numero totale di test eseguiti.
J. Bernoulli ha dimostrato che con un aumento illimitato del numero di esperimenti, la frequenza relativa del verificarsi di un evento differirà praticamente da un numero costante quanto desiderato. Si è scoperto che questo numero costante è la probabilità che si verifichi l'evento. Pertanto, è naturale chiamare probabilità statistica la frequenza relativa di accadimento di un evento con un numero sufficientemente elevato di prove, in contrasto con la probabilità precedentemente introdotta.
Esempio 1.8. Come determinare approssimativamente il numero di pesci nel lago?
Lascia entrare il lago X pescare Gettiamo una rete e, diciamo, ci troviamo dentro N pescare Contrassegniamo ciascuno di essi e li rilasciamo indietro. Pochi giorni dopo, con lo stesso tempo e nello stesso posto, gettiamo la stessa rete. Supponiamo di trovarvi m pesci, tra i quali K taggato. Lasciamo che l'evento UN- “il pesce pescato è marchiato”. Quindi per definizione di frequenza relativa.
Ma se nel lago X pesce e lo abbiamo rilasciato dentro N etichettato, quindi .
Perché  R * (UN) » R(UN), Quello .

1.2.4. Operazioni sugli eventi. Teorema dell'addizione di probabilità

Quantità, ovvero l'unione di più eventi, è un evento costituito dal verificarsi di almeno uno di tali eventi (nello stesso processo).
Somma UN 1 + UN 2 + … + UNN indicato come segue:
O .
Esempio. Si lanciano due dadi. Lasciamo che l'evento UN consiste nel lanciare 4 punti su 1 dado e nell'evento IN– quando vengono lanciati 5 punti su un altro dado. Eventi UN E IN giunto. Dunque l'evento UN +IN consiste nel lanciare 4 punti sul primo dado, oppure 5 punti sul secondo dado, oppure 4 punti sul primo dado e 5 punti sul secondo contemporaneamente.
Esempio. Evento UN– vincita per 1 prestito, evento IN– vincita sul 2° prestito. Poi l'evento A+B– vincere almeno un prestito (possibilmente due contemporaneamente).
Il lavoro ovvero l'intersezione di più eventi è un evento costituito dal verificarsi congiunto di tutti questi eventi (nella stessa prova).
Lavoro IN eventi UN 1 , UN 2 , …, UNN indicato come segue:
.
Esempio. Eventi UN E IN consistono nel superare con successo rispettivamente il primo e il secondo turno al momento dell'ammissione all'istituto. Poi l'evento UN×B consiste nel completare con successo entrambi i round.
I concetti di somma e prodotto di eventi hanno una chiara interpretazione geometrica. Lasciamo che l'evento UN c'è un punto che entra nell'area UN e l'evento IN– punto di ingresso nell'area IN. Poi l'evento A+B c'è un punto che entra nell'unione di queste aree (Fig. 2.1), e l'evento UNIN c'è un punto che colpisce l'intersezione di queste aree (Fig. 2.2).

Riso. 2.1 fig. 2.2
Teorema. Se gli eventi Un io(io = 1, 2, …, N) sono incoerenti a coppie, allora la probabilità della somma degli eventi è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:
.
Permettere UN E Ā – eventi opposti, cioè A + Â= Ω, dove Ω è un evento attendibile. Dal teorema di addizione segue questo
Р(Ω) = R(UN) + R(Ā ) = 1, quindi
R(Ā ) = 1 – R(UN).
Se gli eventi UN 1 e UN 2 sono compatibili, allora la probabilità della somma di due eventi simultanei è pari a:
R(UN 1 + UN 2) = R(UN 1) + R(UN 2) – P( UN 1× UN 2).
I teoremi dell'addizione delle probabilità ci consentono di passare dal calcolo diretto delle probabilità alla determinazione delle probabilità del verificarsi di eventi complessi.
Problema 1.8. Il tiratore spara un colpo al bersaglio. Probabilità di segnare 10 punti (evento UN), 9 punti (evento IN) e 8 punti (evento CON) sono pari rispettivamente a 0,11; 0,23; 0,17. Trovare la probabilità che con un tiro il tiratore segnerà meno di 8 punti (evento D).
Soluzione. Passiamo all'evento opposto: con un tiro il tiratore segnerà almeno 8 punti. Un evento si verifica se accade UN O IN, O CON, cioè. . Dagli eventi A, B, CON sono incoerenti a due a due, quindi, per il teorema di addizione,
, Dove .
Problema 1.9. Dalla squadra della brigata, composta da 6 uomini e 4 donne, vengono selezionate due persone per la conferenza sindacale. Qual è la probabilità che tra quelli selezionati almeno una donna (evento UN).
Soluzione. Se si verifica un evento UN, allora si verificherà sicuramente uno dei seguenti eventi incompatibili: IN– “vengono scelti un uomo e una donna”; CON- “sono state scelte due donne”. Pertanto possiamo scrivere: A=B+C. Troviamo la probabilità degli eventi IN E CON. Due persone su 10 possono essere scelte in modi diversi. Due donne su 4 potranno essere selezionate in modi diversi. Un uomo e una donna possono essere selezionati in 6 × 4 modi. Poi . Dagli eventi IN E CON sono incoerenti, quindi, per il teorema di addizione,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problema 1.10. Ci sono 15 libri di testo disposti in modo casuale sullo scaffale della biblioteca, cinque dei quali rilegati. Il bibliotecario prende tre libri di testo a caso. Trovare la probabilità che almeno uno dei libri di testo presi venga rilegato (evento UN).
Soluzione. Primo modo. Il requisito - almeno uno dei tre libri di testo rilegati presi - sarà soddisfatto se si verifica uno dei seguenti tre eventi incompatibili: IN– un libro di testo rilegato, CON– due libri di testo rilegati, D– tre libri di testo rilegati.
Evento di nostro interesse UN può essere rappresentato come una somma di eventi: A=B+C+D. Secondo il teorema dell’addizione,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Troviamo la probabilità degli eventi AVANTI CRISTO E D(vedi schemi combinatori):

Rappresentando queste probabilità nell'uguaglianza (2.1), otteniamo infine
PAPÀ)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Secondo modo. Evento UN(almeno uno dei tre libri di testo presi è rilegato) e Ā (nessuno dei libri di testo presi è rilegato) - opposto, quindi P(A) + P(À) = 1 (la somma delle probabilità di due eventi opposti è pari a 1). Da qui PAPÀ) = 1 – PAPÀ). Probabilità del verificarsi dell'evento Ā (nessuno dei libri di testo presi è rilegato)
Probabilità richiesta
PAPÀ) = 1 - PAPÀ) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Probabilità condizionale. Teorema della moltiplicazione delle probabilità

Probabilità condizionale P(B/UN) è la probabilità dell'evento B, calcolata presupponendo che l'evento A si sia già verificato.
Teorema. La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi è pari al prodotto delle probabilità di uno di essi e della probabilità condizionata dell'altro, calcolata assumendo che il primo evento si sia già verificato:
PAPÀ∙B) = P(A)∙P( IN/UN). (2.2)
Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di uno di essi non cambia la probabilità del verificarsi dell'altro, cioè
P(A) = P(A/B) O  P(B) = P(B/UN). (2.3)
Se gli eventi UN E IN sono indipendenti, allora dalle formule (2.2) e (2.3) segue
PAPÀ∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
È vera anche l’affermazione opposta, cioè se l'uguaglianza (2.4) vale per due eventi, allora questi eventi sono indipendenti. Infatti dalle formule (2.4) e (2.2) segue
PAPÀ∙B) = P(A)∙P(B) = PAPÀ) × P(B/UN), Dove  PAPÀ) = P(B/UN).
La formula (2.2) può essere generalizzata al caso di un numero finito di eventi UN 1 , UN 2 ,…,UN:
PAPÀ 1 ∙UN 2 ∙…∙UN)=PAPÀ 1)∙PAPÀ 2 /UN 1)∙PAPÀ 3 /UN 1 UN 2)∙…∙Padella/UN 1 UN 2 …UN -1).
Problema 1.11. Da un'urna contenente 5 palline bianche e 10 nere si estraggono due palline in fila. Trovare la probabilità che entrambe le palline siano bianche (evento UN).
Soluzione. Consideriamo gli eventi: IN– la prima pallina estratta è bianca; CON– la seconda pallina estratta è bianca. Poi A = a.C.
L’esperimento può essere condotto in due modi:
1) con restituzione: la pallina rimossa, dopo aver fissato il colore, viene rimessa nell'urna. In questo caso gli eventi IN E CON indipendente:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 ×5/15 = 1/9;
2) senza ritornare: la pallina rimossa viene messa da parte. In questo caso gli eventi IN E CON dipendente:
P(A) = P(B)∙R(S/IN).
Per un evento IN le condizioni sono le stesse, e per CON la situazione è cambiata Accaduto IN, quindi nell'urna rimangono 14 palline, di cui 4 bianche.
COSÌ, .
Problema 1.12. Delle 50 lampadine, 3 sono fuori standard. Trova la probabilità che due lampadine prese contemporaneamente non siano standard.
Soluzione. Consideriamo gli eventi: UN– la prima lampadina non è standard, IN– la seconda lampadina non è di serie, CON– entrambe le lampadine non sono standard. E' chiaro C = A∙IN. Evento UN 3 casi su 50 possibili sono favorevoli, cioè PAPÀ) = 3/50. Se l'evento UNè già arrivato, quindi l'evento IN due casi su 49 possibili sono favorevoli, cioè P(B/UN) = 2/49. Quindi,
.
Problema 1.13. Due atleti tirano allo stesso bersaglio indipendentemente l'uno dall'altro. La probabilità che il primo atleta raggiunga il bersaglio è 0,7 e quella del secondo è 0,8. Qual è la probabilità che il bersaglio venga colpito?
Soluzione. Il bersaglio verrà colpito se il primo tiratore, o il secondo, o entrambi, lo colpiscono, cioè. accadrà un evento A+B, dov'è l'evento UN consiste nel primo atleta che colpisce il bersaglio e nell'evento IN- secondo. Poi
PAPÀ+IN)=PAPÀ)+P(B)–PAPÀ∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problema 1.14. La sala di lettura dispone di sei libri di testo sulla teoria della probabilità, tre dei quali rilegati. Il bibliotecario prese due libri di testo a caso. Trova la probabilità che due libri di testo siano rilegati.
Soluzione. Introduciamo le designazioni degli eventi : UN– il primo libro di testo preso è rilegato, IN– il secondo libro di testo è rilegato. La probabilità che il primo libro di testo sia rilegato è
PAPÀ) = 3/6 = 1/2.
La probabilità che il secondo libro di testo sia rilegato, a condizione che il primo libro di testo preso sia stato rilegato, cioè probabilità condizionata di un evento IN, è come questo: P(B/UN) = 2/5.
La probabilità desiderata che entrambi i libri di testo siano rilegati, secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità degli eventi, è pari a
P(AB) = PAPÀ) ∙ P(B/UN)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problema 1.15. Nel laboratorio lavorano 7 uomini e 3 donne. Tre persone sono state selezionate a caso utilizzando i loro numeri di personale. Trova la probabilità che tutte le persone selezionate siano uomini.
Soluzione. Introduciamo le designazioni degli eventi: UN– viene selezionato per primo l’uomo, IN– il secondo selezionato è un uomo, CON - Il terzo selezionato era un uomo. La probabilità che un uomo venga selezionato per primo è PAPÀ) = 7/10.
La probabilità che un uomo venga selezionato per secondo, a condizione che un uomo sia già stato selezionato per primo, ad es. probabilità condizionata di un evento IN Prossimo : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
La probabilità che un uomo venga selezionato per terzo, dato che due uomini sono già stati selezionati, cioè probabilità condizionata di un evento CONè questo: P(C/AB) = 5/8.
La probabilità desiderata che tutte e tre le persone selezionate siano uomini è  P(ABC) = P(A) P(B/UN) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Formula della probabilità totale e formula di Bayes

Permettere B 1 , B 2 ,…, Bn– eventi incompatibili a coppie (ipotesi) e UN– un evento che può accadere solo insieme ad uno di loro.
Fatecelo sapere anche P(B i) E PAPÀ/B i) (io = 1, 2, …, N).
In queste condizioni valgono le formule:
(2.5)
(2.6)
Viene chiamata la formula (2.5). formula di probabilità totale . Calcola la probabilità di un evento UN(probabilità totale).
Viene chiamata la formula (2.6). Formula di Bayes . Permette di ricalcolare le probabilità delle ipotesi se l'evento UN accaduto.
Quando si compilano gli esempi, è conveniente presumere che le ipotesi formino un gruppo completo.
Problema 1.16. Il cestino contiene mele di quattro alberi della stessa varietà. Dalla prima - 15% di tutte le mele, dalla seconda - 35%, dalla terza - 20%, dalla quarta - 30%. Le mele mature sono rispettivamente il 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Qual è la probabilità che una mela presa a caso sia matura (evento UN).
b) Dato che una mela presa a caso risulta essere matura, calcolare la probabilità che provenga dal primo albero.
Soluzione. a) Abbiamo 4 ipotesi:
B 1 – dal 1° albero si prende una mela a caso;
B 2 – dal 2° albero si prende una mela a caso;
B 3 – dal 3° albero si prende una mela a caso;
B 4 – dal 4° albero si prende una mela a caso.
Le loro probabilità in base alla condizione: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Probabilità condizionate di un evento UN:
PAPÀ/B 1) = 0,99; PAPÀ/B 2) = 0,97; PAPÀ/B 3) = 0,98; PAPÀ/B 4) = 0,95.
La probabilità che una mela presa a caso sia matura si calcola utilizzando la formula della probabilità totale:
PAPÀ)=P(B 1)∙PAPÀ/B 1)+P(B 2)∙PAPÀ/B 2)+P(B 3)∙PAPÀ/B 3)+P(B 4)∙PAPÀ/B 4)=0,969.
b) La formula di Bayes per il nostro caso è simile a:
.
Problema 1.17. Una pallina bianca viene lanciata in un'urna contenente due palline, dopodiché viene estratta una pallina a caso. Trovare la probabilità che la pallina estratta sia bianca se tutte le ipotesi possibili sulla composizione iniziale delle palline (basate sul colore) sono ugualmente possibili.
Soluzione. Indichiamo con UN evento: viene estratta una pallina bianca. Sono possibili le seguenti ipotesi (ipotesi) sulla composizione iniziale delle palline: B1– non ci sono palline bianche, ALLE 2– una pallina bianca, ALLE 3- due palline bianche.
Poiché ci sono tre ipotesi in totale e la somma delle probabilità delle ipotesi è 1 (poiché formano un gruppo completo di eventi), la probabilità di ciascuna ipotesi è 1/3, cioè
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
La probabilità condizionata che venga estratta una pallina bianca, dato che inizialmente non c'erano palline bianche nell'urna, PAPÀ/B 1)=1/3. La probabilità condizionata che venga estratta una pallina bianca, dato che inizialmente c'era una pallina bianca nell'urna, PAPÀ/B 2)=2/3. Probabilità condizionata che venga estratta una pallina bianca dato che inizialmente nell'urna c'erano due palline bianche PAPÀ/B 3)=3/ 3=1.
Troviamo la probabilità richiesta che venga estratta una pallina bianca utilizzando la formula della probabilità totale:
R(UN)=P(B 1)∙PAPÀ/B 1)+P(B 2)∙PAPÀ/B 2)+P(B 3)∙PAPÀ/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problema 1.18. Due macchine producono parti identiche che vanno su un trasportatore comune. La produttività della prima macchina è doppia rispetto a quella della seconda. La prima macchina produce in media il 60% di pezzi di ottima qualità, mentre la seconda l'84%. Il pezzo prelevato a caso dalla catena di montaggio si è rivelato di ottima qualità. Trova la probabilità che questa parte sia stata prodotta dalla prima macchina.
Soluzione. Indichiamo con UN evento - un dettaglio di ottima qualità. Si possono fare due ipotesi: B1– il pezzo è stato prodotto dalla prima macchina e (poiché la prima macchina produce il doppio dei pezzi della seconda) PAPÀ/B 1) = 2/3; B 2 – il pezzo è stato prodotto dalla seconda macchina, e P(B 2) = 1/3.
La probabilità condizionata che il pezzo sia di ottima qualità se prodotto dalla prima macchina, PAPÀ/B 1)=0,6.
La probabilità condizionata che il pezzo sia di ottima qualità se prodotto dalla seconda macchina è PAPÀ/B 1)=0,84.
La probabilità che una parte presa a caso sia di ottima qualità, secondo la formula della probabilità totale, è pari a
PAPÀ)=P(B 1) ∙PAPÀ/B 1)+P(B 2) ∙PAPÀ/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
La probabilità richiesta che il pezzo eccellente selezionato sia stato prodotto dalla prima macchina, secondo la formula di Bayes, è pari a

Problema 1.19. Esistono tre lotti di parti, ciascuno contenente 20 parti. Il numero di parti standard nel primo, secondo e terzo lotto è rispettivamente 20, 15, 10. Una parte che si è rivelata standard è stata rimossa in modo casuale dal lotto selezionato. Le parti vengono restituite al lotto e una parte viene rimossa casualmente dallo stesso lotto, che risulta essere anch'esso standard. Trova la probabilità che le parti siano state rimosse dal terzo lotto.
Soluzione. Indichiamo con UN evento - in ciascuna delle due prove (con restituzione), è stata recuperata una parte standard. Si possono fare tre ipotesi (ipotesi): B 1 – le parti vengono rimosse dal primo lotto, IN 2 – le parti vengono rimosse dal secondo lotto, IN 3 – le parti vengono rimosse dal terzo lotto.
Le parti sono state estratte in modo casuale da un dato lotto, quindi le probabilità delle ipotesi sono le stesse:  P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Troviamo la probabilità condizionata PAPÀ/B 1), cioè la probabilità che due parti standard vengano rimosse in sequenza dal primo lotto. Questo evento è affidabile, perché nel primo lotto tutte le parti sono standard, quindi  PAPÀ/B 1) = 1.
Troviamo la probabilità condizionata PAPÀ/B 2), cioè la probabilità che due parti standard vengano rimosse (e restituite) in sequenza dal secondo lotto: PAPÀ/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Troviamo la probabilità condizionata PAPÀ/B 3), cioè la probabilità che due parti standard vengano rimosse (e restituite) in sequenza dal terzo lotto:  PAPÀ/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
La probabilità desiderata che entrambe le parti standard estratte vengano prelevate dal terzo lotto, secondo la formula di Bayes, è pari a

1.2.7. Test ripetuti

Se vengono eseguiti più test e la probabilità dell'evento UN in ogni test non dipende dai risultati di altri test, quindi vengono chiamati tali test indipendente rispetto all’evento A. In diverse prove indipendenti l'evento UN possono avere probabilità diverse o la stessa probabilità. Considereremo inoltre solo i test indipendenti in cui si è verificato l'evento UN ha la stessa probabilità.
Lascia che sia prodotto P prove indipendenti, in ciascuna delle quali l'evento UN può apparire o meno. Accettiamo di assumere che la probabilità di un evento UN in ogni prova è lo stesso, cioè uguale R. Quindi la probabilità che l’evento non si verifichi UN in ogni prova è anch'esso costante e pari a 1– R. Questo schema probabilistico si chiama Schema Bernoulliano. Mettiamoci il compito di calcolare la probabilità che quando P Evento di prova Bernoulli UN si avvererà K una volta ( K– numero di successi) e, pertanto, non si avvererà P- una volta. È importante sottolineare che non è obbligatorio che l'evento UN ripetuto esattamente K volte in una determinata sequenza. Indichiamo la probabilità desiderata R p (k). Ad esempio, il simbolo R 5(3) indica la probabilità che in cinque prove l'evento appaia esattamente 3 volte e quindi non si verifichi 2 volte.
Questo problema può essere risolto utilizzando il cosiddetto Formule di Bernoulli, che assomiglia a:
.
Problema 1.20. La probabilità che il consumo di elettricità durante un giorno non superi la norma stabilita è uguale a R=0,75. Trova la probabilità che nei prossimi 6 giorni il consumo di elettricità per 4 giorni non superi la norma.
Soluzione. La probabilità di un consumo energetico normale durante ciascuno dei 6 giorni è costante e uguale a R=0,75. Di conseguenza, anche la probabilità di un consumo eccessivo di energia ogni giorno è costante e uguale a q= 1–R=1–0,75=0,25.
La probabilità richiesta secondo la formula di Bernoulli è uguale a
.
Problema 1.21. Due giocatori di scacchi uguali giocano a scacchi. Cos'è più probabile: vincere due partite su quattro o tre partite su sei (i pareggi non vengono presi in considerazione)?
Soluzione. Giocano giocatori di scacchi uguali, quindi la probabilità di vincere R= 1/2, quindi, la probabilità di perdere Qè anche uguale a 1/2. Perché in tutti i giochi la probabilità di vincita è costante e non importa in quale sequenza si vincono le partite, allora è applicabile la formula di Bernoulli.
Troviamo la probabilità che vengano vinte due partite su quattro:

Troviamo la probabilità che vengano vinte tre partite su sei:

Perché P 4 (2) > P 6 (3), allora è più probabile vincere due partite su quattro che tre su sei.
Tuttavia, si può vedere che utilizzando la formula di Bernoulli per valori grandi N abbastanza difficile, poiché la formula richiede operazioni su numeri enormi e quindi gli errori si accumulano durante il processo di calcolo; Di conseguenza, il risultato finale potrebbe differire in modo significativo da quello reale.
Per risolvere questo problema esistono diversi teoremi limite che vengono utilizzati nel caso di un gran numero di test.
1. Teorema di Poisson
Quando si eseguono un gran numero di test utilizzando lo schema Bernoulli (con N=> ∞) e con un numero esiguo di esiti favorevoli K(si presuppone che la probabilità di successo P piccolo), la formula di Bernoulli si avvicina alla formula di Poisson
.
Esempio 1.22. La probabilità di difetti quando un'impresa produce un'unità di prodotto è uguale a P=0,001. Qual è la probabilità che producendo 5000 unità di prodotto, meno di 4 di esse siano difettose (evento UN Soluzione. Perché Nè grande, usiamo il teorema locale di Laplace:

Calcoliamo X:
Funzione – pari, quindi φ(–1,67) = φ(1,67).
Utilizzando la tabella nell'Appendice A.1, troviamo φ(1,67) = 0,0989.
Probabilità richiesta P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema integrale di Laplace
Se la probabilità R verificarsi di un evento UN in ogni prova secondo lo schema Bernoulliano è costante e diversa da zero e uno, quindi con un gran numero di prove N, probabilità R p (k 1 , K 2) verificarsi dell'evento UN in questi test da K 1 a K 2 volte approssimativamente uguali
R pag(K 1 , K 2) = Φ ( X"") – Φ ( X"), Dove
– Funzione di Laplace,

L'integrale definito nella funzione di Laplace non può essere calcolato sulla classe delle funzioni analitiche, quindi per calcolarlo viene utilizzata la tabella. Clausola 2, riportata in appendice.
Esempio 1.24. La probabilità che un evento si verifichi in ciascuna delle cento prove indipendenti è costante e uguale a P= 0,8. Trovare la probabilità che l'evento si ripeta: a) almeno 75 volte e non più di 90 volte; b) almeno 75 volte; c) non più di 74 volte.
Soluzione. Usiamo il teorema integrale di Laplace:
R pag(K 1 , K 2) = Φ ( X"") – Φ( X"), dove Ô( X) – Funzione di Laplace,

a) A seconda della condizione, N = 100, P = 0,8, Q = 0,2, K 1 = 75, K 2 = 90. Calcoliamo X"" E X" :


Considerando che la funzione di Laplace è dispari, cioè F(- X) = – Ô( X), noi abbiamo
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
Secondo la tabella P.2. troveremo applicazioni:
F(2,5) = 0,4938;  F(1,25) = 0,3944.
Probabilità richiesta
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Il requisito che un evento si verifichi almeno 75 volte significa che il numero di occorrenze dell'evento può essere 75, oppure 76, ..., oppure 100. Pertanto, nel caso in esame, dovrebbe essere accettato K 1 = 75, K 2 = 100. Quindi

.
Secondo la tabella P.2. applicazione troviamo Ф(1,25) = 0,3944; Ô(5) = 0,5.
Probabilità richiesta
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Evento – “ UNè apparso almeno 75 volte" e " UN apparso non più di 74 volte" sono opposti, quindi la somma delle probabilità di questi eventi è pari a 1. Pertanto, la probabilità desiderata
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Argomento della lezione: "Eventi casuali, affidabili e impossibili"

Luogo della lezione nel curriculum: "Combinatoria. Eventi casuali" lezione 5/8

Tipo di lezione: Lezione sulla formazione di nuove conoscenze

Obiettivi della lezione:

Educativo:

o introdurre una definizione di evento casuale, affidabile e impossibile;

o insegnare nel processo di una situazione reale a definire i termini della teoria della probabilità: eventi affidabili, impossibili, ugualmente probabili;

Educativo:

o promuovere lo sviluppo del pensiero logico,

o interesse cognitivo degli studenti,

o capacità di confrontare e analizzare,

Educativo:

o promuovere l’interesse per lo studio della matematica,

o sviluppo della visione del mondo degli studenti.

o padronanza delle capacità intellettuali e delle operazioni mentali;

Metodi di insegnamento: dettato esplicativo e illustrativo, riproduttivo, matematico.

UMK: Matematica: libro di testo per la 6a elementare. a cura di, ecc., casa editrice "Enlightenment", 2008, Matematica, 5-6: libro. per l'insegnante / [, [ ,]. - M.: Educazione, 2006.

Materiale didattico: manifesti sul tabellone.

Letteratura:

1. Matematica: libro di testo. per la 6a elementare. educazione generale istituzioni/, ecc.]; a cura di , ; Ross. acad. Scienze, Ross. acad. educazione, casa editrice "Illuminismo". - 10a ed. - M.: Educazione, 2008.-302 p.: ill. - (Libro di testo scolastico accademico).

2. Matematica, 5-b: libro. per l'insegnante / [, ]. - M.: Educazione, 2006. - 191 p. : malato.

4. Risoluzione di problemi di statistica, calcolo combinatorio e teoria della probabilità. 7-9 gradi. /auto-comp. . Ed. 2°, riv. - Volgograd: Insegnante, 2006. -428 p.

5. Lezioni di matematica utilizzando le tecnologie dell'informazione. 5-10 gradi. Metodologico - manuale con applicazione elettronica / e altri 2a ed., stereotipo. - M.: Casa editrice Globus, 2010. - 266 p. (Scuola moderna).

6. Insegnare la matematica in una scuola moderna. Linee guida. Vladivostok: Casa editrice PIPPCRO, 2003.

PIANO DELLE LEZIONI

I. Momento organizzativo.

II. Lavoro orale.

III. Imparare nuovo materiale.

IV. Formazione di competenze e abilità.

V. Riepilogo della lezione.

V. Compiti a casa.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo

2. Aggiornamento delle conoscenze

Lavoro orale:

3. Spiegazione del nuovo materiale

Insegnante: La nostra vita consiste in gran parte di incidenti. Esiste una scienza come la "teoria della probabilità". Usando il suo linguaggio, puoi descrivere molti fenomeni e situazioni.

Tali antichi comandanti come Alessandro Magno o Dmitry Donskoy, preparandosi per la battaglia, facevano affidamento non solo sul valore e sull'arte dei guerrieri, ma anche sul caso.

Molte persone amano la matematica per le verità eterne: due volte due fa sempre quattro, la somma dei numeri pari è pari, l'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi lati adiacenti, ecc. In qualsiasi problema che risolvi, tutti ottiene la stessa risposta: non devi semplicemente commettere errori nella decisione.

La vita reale non è così semplice e diretta. L’esito di molti eventi non può essere previsto in anticipo. È impossibile, ad esempio, dire con certezza da che parte cadrà una moneta lanciata, quando cadrà la prima neve l’anno prossimo o quante persone in città vorranno fare una telefonata entro la prossima ora. Vengono chiamati tali eventi imprevedibili casuale .

Tuttavia, anche il caso ha le sue leggi, che iniziano a manifestarsi quando i fenomeni casuali si ripetono più volte. Se lanci una moneta 1000 volte, uscirà testa circa la metà delle volte, il che non è il caso con due o anche dieci lanci. "Circa" non significa la metà. Questo generalmente può essere o meno il caso. La legge non afferma nulla di certo, ma fornisce un certo grado di fiducia che si verifichi qualche evento casuale.

Tali modelli sono studiati da un ramo speciale della matematica: Teoria della probabilità . Con il suo aiuto è possibile prevedere con maggiore sicurezza (ma non ancora con certezza) sia la data della prima nevicata che il numero di telefonate.

La teoria della probabilità è indissolubilmente legata alla nostra vita quotidiana. Questo ci offre una meravigliosa opportunità di stabilire sperimentalmente molte leggi probabilistiche, ripetendo esperimenti casuali molte volte. I materiali per questi esperimenti saranno molto spesso una normale moneta, un dado, un set di domino, backgammon, roulette o anche un mazzo di carte. Ciascuno di questi elementi è correlato ai giochi in un modo o nell'altro. Il fatto è che il caso si presenta qui nella sua forma più frequente. E i primi compiti probabilistici riguardavano la valutazione delle possibilità di vincita dei giocatori.

La moderna teoria della probabilità si è allontanata dal gioco d’azzardo, ma i suoi sostegni rimangono ancora la fonte di probabilità più semplice e affidabile. Dopo aver fatto pratica con la roulette e i dadi, imparerai a calcolare la probabilità di eventi casuali in situazioni di vita reale, cosa che ti permetterà di valutare le tue possibilità di successo, testare ipotesi e prendere decisioni ottimali non solo nei giochi e nelle lotterie.

Quando risolvi problemi probabilistici, stai molto attento, cerca di giustificare ogni passo che fai, perché nessun'altra area della matematica contiene così tanti paradossi. Come la teoria della probabilità. E, forse, la spiegazione principale di ciò è la sua connessione con il mondo reale in cui viviamo.

Molti giochi utilizzano un dado con un numero diverso di punti segnati su ciascun lato, da 1 a 6. Il giocatore lancia il dado, guarda quanti punti appaiono (sul lato situato in alto) ed effettua il numero corrispondente di mosse. : 1,2,3 ,4,5, o 6. Lanciare un dado può essere considerato un'esperienza, un esperimento, una prova, e il risultato ottenuto può essere considerato un evento. Le persone di solito sono molto interessate a indovinare il verificarsi di questo o quell'evento e a prevederne l'esito. Quali previsioni possono fare quando lanciano i dadi?

Prima previsione: apparirà uno dei numeri 1,2,3,4,5 o 6. Pensi che l'evento previsto si verificherà oppure no? Certo, arriverà sicuramente.

Viene chiamato un evento che sicuramente si verificherà in una data esperienza affidabile evento.

Seconda previsione : apparirà il numero 7. Pensi che l'evento previsto si verificherà oppure no? Ovviamente non accadrà, è semplicemente impossibile.

Viene chiamato un evento che non può verificarsi in una determinata esperienza impossibile evento.

Terza previsione : apparirà il numero 1. Pensi che l'evento previsto si verificherà oppure no? Non siamo in grado di rispondere con assoluta certezza a questa domanda, poiché l'evento previsto potrebbe verificarsi o meno.

Vengono chiamati eventi che possono verificarsi o meno nelle stesse condizioni casuale.

Esempio. La scatola contiene 5 caramelle in un involucro blu e una in un involucro bianco. Senza guardare nella scatola, tirano fuori una caramella a caso. È possibile sapere in anticipo di che colore sarà?

Esercizio : Descrivi gli eventi discussi nelle attività seguenti. Come certo, impossibile o casuale.

1. Lancia una moneta. Apparve uno stemma. (casuale)

2. Il cacciatore sparò al lupo e lo colpì. (casuale)

3. Lo scolaro va a fare una passeggiata ogni sera. Lunedì, mentre camminava, ha incontrato tre conoscenti. (casuale)

4. Eseguiamo mentalmente il seguente esperimento: capovolgiamo un bicchiere d'acqua. Se questo esperimento non viene eseguito nello spazio, ma a casa o in classe, l'acqua fuoriuscirà. (affidabile)

5. Tre colpi sono stati sparati contro il bersaglio." Ci sono stati cinque colpi." (impossibile)

6. Lancia la pietra. La pietra resta sospesa nell'aria. (impossibile)

Esempio Petya pensò a un numero naturale. L'evento è il seguente:

a) si intende un numero pari; (casuale)

b) si intende un numero dispari; (casuale)

c) si concepisce un numero che non è né pari né dispari; (impossibile)

d) si concepisce un numero pari o dispari. (affidabile)

Vengono chiamati gli eventi che hanno pari probabilità in determinate condizioni altrettanto probabile.

Vengono chiamati eventi casuali che hanno pari probabilità ugualmente possibile O altrettanto probabile .

Posiziona un poster sul tabellone.

Durante la prova orale lo studente prende uno dei biglietti che gli sono messi davanti. Le possibilità di sostenere una qualsiasi delle carte d'esame sono uguali. È altrettanto probabile che lanciando un dado otterrai un numero qualsiasi di punti da 1 a 6, così come "testa" o "croce" lanciando una moneta.

Ma non tutti gli eventi lo sono ugualmente possibile. L'allarme potrebbe non suonare, la lampadina potrebbe bruciarsi, l'autobus potrebbe guastarsi, ma in condizioni normali tali eventi improbabile. Più probabilmente suonerà la sveglia, si accenderà la luce e l'autobus inizierà a muoversi.

Alcuni eventi possibilità accadono di più, il che significa che sono più probabili, più vicini alla certezza. E altri hanno meno possibilità, sono meno probabili, più vicini all'impossibile.

Gli eventi impossibili non hanno alcuna possibilità di accadere, ma gli eventi affidabili hanno tutte le possibilità di accadere: in determinate condizioni accadranno sicuramente;

Esempio Petya e Kolya confrontano i loro compleanni. L'evento è il seguente:

a) i loro compleanni non coincidono; (casuale)

b) i loro compleanni sono gli stessi; (casuale)

d) entrambi i loro compleanni cadono in giorni festivi: Capodanno (1 gennaio) e Giorno dell'Indipendenza russa (12 giugno). (casuale)

3.Formazione di competenze e abilità

Problema tratto dal libro di testo n. 000. Quali dei seguenti eventi casuali sono affidabili e possibili:

a) la tartaruga imparerà a parlare;

b) l'acqua nel bollitore sul fornello bollirà;

d) vincerai partecipando alla lotteria;

e) non vincerai partecipando a una lotteria vantaggiosa per tutti;

f) perderai una partita a scacchi;

g) domani incontrerai un alieno;

h) il tempo peggiorerà la prossima settimana; i) hai premuto il campanello, ma non ha suonato; j) oggi è giovedì;

k) dopo giovedì sarà venerdì; l) ci sarà giovedì dopo venerdì?

Le scatole contengono 2 palline rosse, 1 gialla e 4 verdi. Si estraggono a caso tre palline dalla scatola. Quali dei seguenti eventi sono impossibili, casuali, certi:

A: Verranno estratte tre palline verdi;

B: verranno estratte tre palline rosse;

C: verranno estratte palline di due colori;

D: verranno estratte palline dello stesso colore;

E: tra le palline estratte ce n'è una blu;

F: tra quelle estratte ci sono palline di tre colori;

G: Ci sono due palline gialle tra quelle estratte?

Controllati. (dettato matematico)

1) Indicare quali dei seguenti eventi sono impossibili, quali sono attendibili, quali sono casuali:

· La partita di calcio "Spartak" - "Dynamo" finirà con un pareggio (casuale)

· Vincerai partecipando a una lotteria vantaggiosa per tutti ( affidabile)

La neve cadrà a mezzanotte e il sole splenderà 24 ore dopo (impossibile)

· Domani ci sarà una prova di matematica. (casuale)

· Sarai eletto Presidente degli Stati Uniti. (impossibile)

· Sarai eletto presidente della Russia. (casuale)

2) Hai acquistato una TV in un negozio, per la quale il produttore fornisce una garanzia di due anni. Quali dei seguenti eventi sono impossibili, quali sono casuali, quali sono affidabili:

· La TV non si romperà per un anno. (casuale)

· La TV non si romperà per due anni . (casuale)

· Non dovrai pagare per la riparazione della TV per due anni. (affidabile)

· La TV si romperà nel terzo anno. (casuale)

3) Un autobus che trasporta 15 passeggeri deve effettuare 10 fermate. Quali dei seguenti eventi sono impossibili, quali sono casuali, quali sono certi:

· Tutti i passeggeri scenderanno dall'autobus a fermate diverse. (impossibile)

· Tutti i passeggeri scenderanno alla stessa fermata. (casuale)

· Ad ogni fermata scenderà almeno qualcuno. (casuale)

· Ci sarà una fermata dove non scenderà nessuno. (casuale)

· A tutte le fermate scenderà un numero pari di passeggeri. (impossibile)

· A tutte le fermate scenderà un numero dispari di passeggeri. (impossibile)

Riepilogo della lezione

Domande per gli studenti:

Quali eventi sono chiamati casuali?

Quali eventi sono detti ugualmente probabili?

Quali eventi sono definiti affidabili? impossibile?

Quali eventi sono considerati più probabili? meno probabile?

Compiti a casa : clausola 9.3

N. 000. Trova tre esempi di eventi affidabili e impossibili, nonché di eventi di cui non si può dire che si verifichino con certezza.

902. Una scatola contiene 10 penne rosse, 1 verde e 2 blu. Si estraggono a caso dalla scatola due penne. Quali dei seguenti eventi sono impossibili e certi:

A: Verranno rimosse due maniglie rosse; B: verranno rimosse due maniglie verdi; C: verranno rimosse due maniglie blu; D: Verranno estratte due maniglie di colori diversi;

E: verranno tolte due matite? 03. Egor e Danila sono d'accordo: se la lancetta del giradischi (Fig. 205) si ferma su un campo bianco, Egor dipingerà il recinto e, se su un campo blu, Danila lo dipingerà. Quale ragazzo ha maggiori probabilità di dipingere il recinto?

Solo non in un traduttore online.

La Porta d'Oro è un simbolo di Kiev, uno dei più antichi esempi di architettura sopravvissuti fino ai giorni nostri. La Porta d'Oro di Kiev fu costruita sotto il famoso principe di Kiev Yaroslav il Saggio nel 1164. Inizialmente si chiamavano Meridionali e facevano parte del sistema di fortificazioni difensive della città, praticamente non diverse dalle altre porte di guardia della città. Era la Porta Sud che il primo metropolita russo Hilarion chiamò “Grande” nel suo “Sermone sulla legge e sulla grazia”. Dopo la costruzione della maestosa Chiesa di Santa Sofia, la Porta “Grande” divenne l’ingresso principale a Kiev dal lato sud-occidentale. Comprendendo il loro significato, Yaroslav il Saggio ordinò la costruzione di una piccola chiesa dell'Annunciazione sopra le porte per rendere omaggio alla religione cristiana dominante nella città e nella Rus'. Da quel momento in poi, tutte le fonti della cronaca russa iniziarono a chiamare la Porta Meridionale di Kiev la Porta d'Oro. La larghezza del cancello era di 7,5 m, l'altezza del passaggio era di 12 me la lunghezza era di circa 25 m.

le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. lo sport ha sviluppato ton corps e anche ton cerveau. Quando prendi l'escalier e non pas l'ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quando tu te pipistrelli avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, perché tu es en retard a l'ecole, tu fais du sport.

La teoria della probabilità, come ogni branca della matematica, opera con una certa gamma di concetti. Alla maggior parte dei concetti della teoria della probabilità viene data una definizione, ma alcuni vengono presi come primari, non definiti, come in geometria un punto, una linea retta, un piano. Il concetto principale della teoria della probabilità è un evento. Per evento si intende qualcosa di cui, dopo un certo momento, si può dire una ed una sola di due cose:

• · Sì, è successo.
• · No, non è successo.

Ad esempio, ho un biglietto della lotteria. Dopo la pubblicazione dei risultati della lotteria, l'evento che mi interessa - vincere mille rubli - accade o non accade. Qualsiasi evento si verifica come risultato di una prova (o esperienza). Un test (o esperienza) si riferisce a quelle condizioni a seguito delle quali si verifica un evento. Ad esempio, lanciare una moneta è un test e l'apparizione di uno "stemma" su di essa è un evento. Un evento è solitamente indicato con lettere latine maiuscole: A,B,C,…. Gli eventi nel mondo materiale possono essere suddivisi in tre categorie: affidabili, impossibili e casuali.

Un certo evento è un evento che si sa in anticipo che si verificherà. È indicato con la lettera W. Pertanto, è affidabile che non appaiano più di sei punti quando si lancia un dado normale, l'aspetto di una pallina bianca quando viene rimossa da un'urna contenente solo palline bianche, ecc.

Un evento impossibile è un evento noto in anticipo che non accadrà. È indicato dalla lettera E. Esempi di eventi impossibili sono pescare più di quattro assi da un normale mazzo di carte, pescare una pallina rossa da un'urna contenente solo palline bianche e nere, ecc.

Un evento casuale è un evento che può verificarsi o meno a seguito di un test. Gli eventi A e B si dicono incompatibili se il verificarsi dell'uno esclude la possibilità del verificarsi dell'altro. Pertanto, la comparsa di un numero qualsiasi di punti quando si lancia un dado (evento A) è incompatibile con la comparsa di un altro numero (evento B). Ottenere un numero pari di punti non è coerente con ottenere un numero dispari. Al contrario, ottenere un numero pari di punti (evento A) e un numero di punti multiplo di tre (evento B) non sarà incompatibile, perché ottenere sei punti significa il verificarsi sia dell'evento A che dell'evento B, quindi il verificarsi di uno di essi non esclude il verificarsi dell'altro. È possibile eseguire operazioni sugli eventi. L'unione di due eventi C=AUB è un evento C che si verifica se e solo se si verifica almeno uno di questi eventi A e B. L'intersezione di due eventi D=A??. B è un evento che si verifica se e solo se si verificano entrambi gli eventi A e B.